а) Пусть окруж­ность ка­са­ет­ся ос­но­ва­ний BC и AD в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но, а ее центр на­хо­дит­ся в точке O.

Лучи AO и BO яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми углов BAD и ABC со­от­вет­ствен­но, по­это­му

то есть тре­уголь­ник AOB пря­мо­уголь­ный. Ана­ло­гич­но, тре­уголь­ник COD тоже пря­мо­уголь­ный. Пусть BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y.

от­ку­да y = 2x. По­лу­ча­ем: BK = BM = x, AL = AM = 8x, CK = CN = 2x, DL = DN = 4x, BC = BK + KC = 3x, AD = AL + LD = 12x, то есть AD = 4BC.

б) За­ме­тим, что  по­это­му 

Пусть пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, а пря­мые MN и PO пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Q. Тогда тре­уголь­ни­ки BPC и APD по­доб­ны, по­это­му AP = 4BP, AB = 3BP, BP = 3x, PN = PM = 4x. Пря­мая PO яв­ля­ет­ся се­ре­дин­ным пер­пен­ди­ку­ля­ром к MN. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OMP по­лу­ча­ем:

Зна­чит, 

Ответ: б) 4.