В день отправления поезд едет (24 − 21) · 60 − 35 = 3 · 60 − 35 = 145 минут, а на следующий день до момента прибытия он едет 10 · 60 + 35 = 635 минут. Всего в пути поезд проведет 145 + 635 = 780 минут. Разделим 780 на 60:

Значит, поезд находится в пути 13 часов.

Ответ: 13.

Из 16 наблюдений, представленных на графике, 2 дня выпадало более 3 мм осадков в остальные дни менее 3 мм осадков. Поэтому 14 дней выпадало менее 3 мм осадков.

Ответ: 14.

Отрежем от закрашенной фигуры сектор, отмеченный синим цветом, и добавим к ней сектор, выделенный красным цветом. Указанные секторы равны, поэтому площадь фигуры не изменилась. Следовательно, она равна трём четвертям площади круга, радиус которого  см. Поэтому

 см².

Ответ: 12.

Обозначим «1» ту сторону монеты, которая отвечает за выигрыш жребия «Физиком», другую сторону монеты обозначим «0». Тогда благоприятных комбинаций три: 110, 101, 011, а всего комбинаций 2³ = 8: 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111. Тем самым, искомая вероятность равна:

Ответ: 0,375.

Возведем в квадрат:

Уравнение имеет единственный корень, он и является ответом.

Ответ: 6.

Поскольку ,  имеем:

Ответ: 2,5.

Раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 8 и 2 равна пло­ща­ди вы­де­лен­ной на ри­сун­ке тра­пе­ции  По­это­му

Ответ:7.

Пло­щадь по­верх­но­сти куба вы­ра­жа­ет­ся через его ребро  фор­му­лой , по­это­му при уве­ли­че­нии длины ребра на  пло­щадь уве­ли­чит­ся на

От­сю­да на­хо­дим, что ребро куба равно

Ответ: 4.

Выполним преобразования:

Ответ: 1.

Пусть  – расстояние до воды до дождя,  – расстояние до воды после дождя. После дождя уровень воды в колодце повысится, расстояние до воды уменьшится, и время падения уменьшится, станет равным  с. Уровень воды поднимется на  метров.

Ответ: 1.

Пусть v км/ч — скорость первого мотоциклиста, тогда скорость второго мотоциклиста равна v + 21 км/ч. Пусть первый раз мотоциклисты поравняются через  часов. Для того, чтобы мотоциклисты поравнялись, более быстрый должен преодолеть изначально разделяющее их расстояние, равное половине длины трассы. Поэтому

Таким образом, мотоциклисты поравняются через  часа или через 20 минут.

Ответ: 20.

а) 

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку  Получим число 

Ответ: а)     б) 

а) Проведём медиану S₁M треугольника SS₁B, которая пересекает прямую BB₁, являющуюся одновременно медианой треугольника SS₁B и основания BCD, в точке T. Тогда ВТ : ТВ₁ = 4 : 5.

Точка L, в свою очередь, делит отрезок B₁D в отношении DL : LВ₁ = 4 : 5, так как LD : LC = 2 : 7 и отрезок BB₁ — медиана треугольника BCD.

Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне BD основания BCD. Пусть прямая LT пересекает BC в точке P.

Проведём через точку M среднюю линию в треугольнике SBD, пусть она пересекает сторону SD в точке K. Тогда PMKL — искомое сечение, причём BP = DL и BM = KD. Из равенства треугольников BMP и DKL получим MP = KL, а значит, PMKL — равнобедренная трапеция.

б) Большее основание PL трапеции равно 7, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание MK равно 4,5, поскольку MK — средняя линия правильного треугольника SBD. Следовательно, средняя линия трапеции равна 

Ответ: 5,75.

Перепишем неравенство в виде  и положим 

Тогда  и, значит, 

Далее имеем:  откуда 

Ответ: 

а) Пусть окруж­ность ка­са­ет­ся ос­но­ва­ний BC и AD в точ­ках K и L со­от­вет­ствен­но, а ее центр на­хо­дит­ся в точке O.

Лучи AO и BO яв­ля­ют­ся бис­сек­три­са­ми углов BAD и ABC со­от­вет­ствен­но, по­это­му

то есть тре­уголь­ник AOB пря­мо­уголь­ный. Ана­ло­гич­но, тре­уголь­ник COD тоже пря­мо­уголь­ный. Пусть BM = x, CN = y, тогда AM = 8x, DN = 2y.

от­ку­да y = 2x. По­лу­ча­ем: BK = BM = x, AL = AM = 8x, CK = CN = 2x, DL = DN = 4x, BC = BK + KC = 3x, AD = AL + LD = 12x, то есть AD = 4BC.

б) За­ме­тим, что  по­это­му 

Пусть пря­мые AB и CD пе­ре­се­ка­ют­ся в точке P, а пря­мые MN и PO пе­ре­се­ка­ют­ся в точке Q. Тогда тре­уголь­ни­ки BPC и APD по­доб­ны, по­это­му AP = 4BP, AB = 3BP, BP = 3x, PN = PM = 4x. Пря­мая PO яв­ля­ет­ся се­ре­дин­ным пер­пен­ди­ку­ля­ром к MN. В пря­мо­уголь­ном тре­уголь­ни­ке OMP по­лу­ча­ем:

Зна­чит, 

Ответ: б) 4.

Пусть сумма кре­ди­та S еже­год­ные вы­пла­ты x,  По усло­вию долг на июль ме­ня­ет­ся так:

Если долг вы­пла­чен двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми x₂, то  от­ку­да

Если долг вы­пла­чен че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми x₄, то  от­ку­да

Тогда

от­ку­да  Сле­до­ва­тель­но, 

Ответ: 10.

а) Пусть в школе № 1 писали тест n учащихся, а средний балл был равен А. Тогда суммарный балл всех учащихся этой школы равнялся nA, а значит, после перехода одного учащегося в школу № 2, суммарный балл стал равен  Таким образом, суммарный балл уменьшился на  что невозможно, поскольку перешедший учащийся набрал положительное количество баллов, а 

б) Пусть в школе № 2 средний балл равнялся В, а перешедший в нее учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:

или

Если  то поскольку число  должно делиться на 10, а  не должно быть отрицательным. Получаем  что невозможно, поскольку A целое.

в) Заметим, что если  то  или  В первом случае  а во втором  Значит, ни один из этих случае не возможен.

При  получаем  откуда   Этот случай реализуется, например, если в школе № 1 писали тест 2 учащихся и набрали 22 и 18 баллов, а в школе № 2 писали тест 49 учащихся и каждый набрал по три балла, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 18 баллов.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.