Математика (проф. ур.) (Вариант 6)
Диагональ AC разбивает трапецию ABCD с основанием AD и BC, из которых AD большее, на два подобных треугольника.
а) Докажите, что ∠ABC = ∠ACD.
б) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что BC = 18, AD = 50 и 
Ответ
/Tablitsy%20s%20formulami/Planimetriya.jpg)
Прямые AD и BC параллельны, поэтому ∠ACB = ∠CAD.
Предположим, что ∠BAC = ∠ACD, тогда получаем, что прямые AB и CD параллельны и ABCD — параллелограмм. Значит, предположение неверно и ∠ABC = ∠ACD.
б) Треугольники ABC и DCA подобны. Следовательно, 
откуда
Опустим из вершины C перпендикуляр CK на основание AD. Тогда 
Значит, ABCK — прямоугольник.
Следовательно,
Пусть M и N — середины оснований AD и BC соответственно, MH — перпендикуляр к AD. Тогда ABMH — прямоугольник. Получаем, что
В прямоугольном треугольнике MNH имеем:
/profil/-15/16.svg)
Ответ: 