С учетом комиссии, Аня должна внести в приемное устройство сумму не менее 300 + 300 · 0,05 = 315 рублей. Значит, минимальная сумма, которую должна положить Аня, — 320 рублей. Проверим, что этой суммы достаточно: 5% от нее составляют 16 руб. (это комиссия), оставшиеся 304 рубля пойдут на счет телефона.

Ответ: 320.

Из графика видно, что 15 июля наибольшая температура составляла 21 °C, а наименьшая 8 °C. Их разность составляет 13 °C.

Ответ: 13.

У Вити в копилке лежит 12 + 6 + 4 + 3 = 25 монет на сумму 12 + 12 + 20 + 30 = 74 рубля. Больше 70 рублей останется, если достать из копилки либо рублёвую, либо двухрублёвую монету. Искомая вероятность равна 18 : 25 = 0,72.

Ответ: 0,72.

Извлекая кубический корень из обеих частей уравнения, получаем , откуда 

Ответ: 3.

Ответ: 45.

Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.

Ответ: 4.

Объем призмы больше объема пирамиды с такой же площадью основания и высотой в 3 раза. Объем оставшейся части составляет тогда две трети исходного, он равен 4.

Ответ: 4.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 16.

Поскольку произведение давления на степень объёма постоянно, а давление равно , при заданных значениях параметров  и  имеем равенство:

Ответ: 0,125.

Первый обогнал второго на 3 км за четверть часа, это значит, что скорость удаления (сближения) гонщиков равна  км/ч. Обозначим скорость второго гонщика  км/ч, тогда скорость первого  км/ч. Составим и решим уравнение:

Таким образом, скорость второго гонщика равна 108 км/ч.

Ответ: 108.

Найдем производную заданной функции:  Уравнение  не имеет решений, производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей. Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является

Ответ: 9.

а) Заметим, что уравнение определено при любом  Запишем исходное уравнение в виде:

Значит, либо  откуда  или  либо , откуда  или 

б) Поскольку  отрезку  принадлежат корни  и 

Ответ: а)  б) 

а) Пусть прямые АР и ВС пересекаются в точке R (см. рисунок). Тогда точка М — точка пересечения прямых QR и СС₁.

Треугольники ARB и PRC подобны, откуда  

Треугольники QRB и MRC подобны, откуда  следовательно,  Значит, М — середина СС₁.

б) Расстояние от точки С до плоскости APQ равно высоте h пирамиды CPRM, опущенной из вершины С. Объём пирамиды CPRM, с одной стороны

C другой стороны  Значит,

В треугольнике RPM находим стороны:   

По теореме косинусов

откуда 

Площадь треугольника RPM равна 

Следовательно, 

Ответ: б) 

Пусть  Получаем систему неравенств:

Следовательно:

Таким образом, решением исходного неравенства является множество 

Ответ: 

Прямые AD и BC параллельны, поэтому ∠ACB = ∠CAD.

Предположим, что ∠BAC = ∠ACD, тогда получаем, что прямые AB и CD параллельны и ABCD — параллелограмм. Значит, предположение неверно и ∠ABC = ∠ACD.

б) Треугольники ABC и DCA подобны. Следовательно,  откуда

Опустим из вершины C перпендикуляр CK на основание AD. Тогда  Значит, ABCK — прямоугольник.

Следовательно,

Пусть M и N — середины оснований AD и BC соответственно, MH — перпендикуляр к AD. Тогда ABMH — прямоугольник. Получаем, что

В прямоугольном треугольнике MNH имеем:

Ответ: 

Пусть сред­ства кли­ен­тов, име­ю­щих­ся в банке, со­став­ля­ет S у.е.

Наи­мень­шая при­быль, ко­то­рую банку могут при­не­сти оба про­ек­та 0,25S.

Банк по­лу­чит наи­мень­шую чи­стую при­быль если он своим кли­ен­там вы­пла­тит про­цен­ты по выс­шей став­ке (20%). Рас­счи­та­ем этот по­ка­за­тель: 

Наи­боль­шая при­быль, ко­то­рую банку могут при­не­сти оба про­ек­та 0,3S.

Банк по­лу­чит наи­боль­шую чи­стую при­быль, если банк своим кли­ен­там вы­пла­тит про­цен­ты по низ­шей став­ке (10%).

Ответ: 5%; 20%.

Полагая ,  перепишем исходную систему в виде

Заметим, что если хотя бы одна из переменных  отрицательна, то исходная система не имеет решений. Значению  соответствует , а значению  соответствует  а каждой паре положительных значений  соответствует по два значения исходных переменных  соответственно, то есть каждому такому решению соответствуют четыре решения исходной системы.

Заметим далее, что если пара  является решением системы, то и пара  — также решение этой системы, то есть исходная система получает восемь решений если  Таким образом, исходная система имеет четыре решения  тогда и только тогда, когда полученная система имеет следующие решения:  или , где  и 

Рассмотрим три случая.

1. Если  то из первого уравнения  из второго уравнения  При найденном значении параметра система принимает вид

Осталось убедиться, что данная система не имеет других решений, кроме  Из первого уравнения  подставим во второе:

Последнее уравнение имеет единственный корень  Это доказывает, что других решений система не имеет.

2. Если  а  то  При этом значении параметра система принимает вид

Проверим, имеет ли данная система решения, отличные от . Из первого уравнения снова  подставим во второе:

Последнее уравнение имеет два корня  и  Первый из них соответствует рассматриваемому случаю и двум решениям исходной системы, а второй оставшемуся случаю  и еще двум.

3. Если  а  то  Как было показано выше, данное значение параметра является искомым.

Ответ: 

а) При любой расстановке разность числа 11 и любого соседнего с ним числа меньше 11. Значит, всегда найдутся хотя бы две разности меньше 11.

б) Например, для расстановки 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11 все разности не меньше 10.

в) Оценим значение k. Рассмотрим числа от 1 до 7. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то найдется разность меньше 7. Иначе они стоят через два, поскольку всего чисел 21. В этом случае число 8 стоит рядом или через одно с каким-то числом от 2 до 7 и найдется разность меньше 7.

Таким образом, всегда найдется разность меньше 7. Все разности могут быть не меньше 6. Например, для расстановки 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 все разности не меньше 6.

Ответ: а) нет; б) да; в) 6.