Вариант 6. Онлайн тесты ЕГЭ Математика (проф. ур.) (Вопрос №14)

Математика (проф. ур.) (Вариант 6)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Вопрос 14

На рёбрах CD и BB₁ куба ABCDA₁B₁C₁D₁ с ребром 12 отмечены точки Р и Q соответственно, причём DP = 4, а B₁Q = 3. Плоскость APQ пересекает ребро CC₁ в точке М.

а) Докажите, что точка М является серединой ребра CC₁.

б) Найдите расстояние от точки С до плоскости APQ.

Ответ

Ответить Завершить тест Пояснение

Заметили ошибку в тексте?
Выделите её и нажмите Ctrl + Enter

а) Пусть прямые АР и ВС пересекаются в точке R (см. рисунок). Тогда точка М — точка пересечения прямых QR и СС₁.

Треугольники ARB и PRC подобны, откуда $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

Треугольники QRB и MRC подобны, откуда $\text{[math]}$ следовательно, $\text{[math]}$ Значит, М — середина СС₁.

б) Расстояние от точки С до плоскости APQ равно высоте h пирамиды CPRM, опущенной из вершины С. Объём пирамиды CPRM, с одной стороны

$\text{[math]}$

C другой стороны $\text{[math]}$ Значит,

$\text{[math]}$

В треугольнике RPM находим стороны: $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$

По теореме косинусов

$\text{[math]}$

откуда $\text{[math]}$

Площадь треугольника RPM равна $\text{[math]}$

Следовательно, $\text{[math]}$

Ответ: б) $\text{[math]}$

Регистрация

Зарегистрироваться через VK

Личный кабинет

Войти через VK