Математика (Вариант 3)
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 120, а площадь равна 540, можно вписать окружность. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей трапеции до её меньшего основания.
Ответ
Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:
Периметр трапеции — сумма длин всех сторон:
Следовательно, 
Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:
Высоты 
и 
равны. Из прямоугольного треугольника 
найдём 
Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, 
равно 
равно 
следовательно, треугольники равны, откуда 
Прямые и перпендикулярны прямой 
поэтому они параллельны, равно , следовательно, четырёхугольник 
— параллелограмм, по признаку параллелограмма, откуда 
Рассмотрим выражение для отрезка 
Получаем систему уравнений на отрезки 
и 
Рассмотрим треугольники 
и 
углы CAD и BCA равны как накрест лежащие при параллельных прямых, углы 
и равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны. Откуда:
Высота 
Значит, искомое расстояние 
/-18/26.svg)
Ответ: 1,8.