Вариант 2. Онлайн тесты ЕГЭ Математика (проф. ур.) (Вопрос №19)

Математика (проф. ур.) (Вариант 2)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Вопрос 19

Каждый из 28 студентов писал или одну из двух контрольных работ, или написал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 15. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за неё). Среднее арифметическое названных баллов равно S.

а) Приведите пример, когда S < 15.

б) Могло ли оказаться, что только два студента написали обе контрольные работы, если S = 13?

в) Какое наименьшее количество студентов могло написать обе контрольные работы, если S = 13?

Ответ

Ответить Завершить тест Пояснение

Заметили ошибку в тексте?
Выделите её и нажмите Ctrl + Enter

а) Например, если 20 студентов писали обе контрольные работы и получили по 18 баллов за каждую, 4 студента писали только первую контрольную работу и получили по 0 баллов, 4 студента писали только вторую контрольную работу и получили по 0 баллов, то средний балл по каждой из контрольных работ в отдельности составил 15, а $\text{[math]}$

б) Поскольку средние баллы по каждой контрольной в отдельности равны 15, средний балл по обеим контрольным работам тоже равен 15. Всего было написано 28 + 2 = 30 контрольных работ. Значит, общее количество набранных студентами баллов равно $\text{[math]}$ При этом сумма наивысших баллов равна 13 · 28 = 364. Следовательно, сумма наименьших баллов, набранных двумя студентами, писавшими обе работы, равна 450 − 364 = 86. Но сумма наименьших баллов двух студентов не может превосходить 40. Противоречие.

в) Пусть k — количество студентов, писавших обе контрольные работы, a — сумма баллов студентов, которые писали только одну контрольную работу, b — сумма наибольших баллов студентов, которые писали обе контрольные работы, c — сумма наименьших баллов студентов, которые писали обе контрольные работы.

Тогда сумма всех набранных баллов: $\text{[math]}$ сумма наивысших баллов $\text{[math]}$ Тогда $\text{[math]}$ С другой стороны, $\text{[math]}$ , поэтому $\text{[math]}$ откуда $\text{[math]}$

Приведём пример, когда $\text{[math]}$ то есть если $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ Например, 11 студентов написали обе контрольные работы на 20 баллов, один студент написал обе контрольные, получив за первую 20 баллов, а за вторую 16 баллов, 8 студентов писали только первую контрольную, причем 3 из них написали ее на 20 баллов, а 5 из них — на 0 баллов, и 8 студентов писали только вторую контрольную, каждый на 8 баллов. Тогда обе контрольные писали по 20 студентов, набрав за первую 3 · 20 + 12 · 20 = 300 баллов и за вторую 8 · 8 + 11 · 20 + 16 = 300 баллов.