Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1) Если  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 1) и радиусом 1.

2) Если  то координаты любой точки прямой  удовлетворяют уравнению.

3) Если  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 2.

Таким образом, в первом случае получаем дугу  окружности  с концами в точках O и A(0; 2), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу  окружности с концами в точках A и B(0; −2) (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, параллельно прямой y = x или совпадающую с ней.

Прямые m проходят через точки B, O и A при  и  соответственно.

При  и  прямые m касаются дуг  и  соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, имеет одну общую точку с дугой при  и  имеет две общие точки с дугой  при  имеет одну общую точку с дугой  при  и имеет две общие точки с дугой  при 

Число решений исходной системы равно числу точек пересечений прямой l и дуг  и с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при