За 3 кг помидоров отдыхающие заплатили 4 · 3 = 12 гривен. Значит, в рублях они заплатили: 12 · 3,7 = 44,4 рубля. Округляем до целого числа, получаем 44.

В указанный период времени наименьшего уровня цена достигла 15 октября и составила 313 долларов за тонну.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому

 см².

В первом туре Борис Барсуков может сыграть с  шашистами, из которых  из России. Значит, вероятность того, что в первом туре Борис Барсуков будет играть с каким-либо шашистом из России, равна

Последовательно получаем:

Если производная в некоторой точке равна нулю, а в ее окрестности меняет знак, то это точка экстремума. На интервале [–1; 4] график производной пересекает ось абсцисс, производная меняет знак с минуса на плюс. Следовательно, точка 3 является точкой экстремума.

Площадь основания равна

Из формулы для объема пирамиды найдем высоту:

В правильном шестиугольнике сторона равна радиусу описанной окружности, поэтому найдем боковое ребро пирамиды по теореме Пифагора:

Выполним преобразования:

Задача сводится к решению неравенства  на интервале  при заданных значениях силы тока в рамке , размера рамки  м, числа витков провода  и индукции магнитного поля  Тл:

Пусть  км/ч — скорость первого автомобиля, тогда скорость второго автомобиля на второй половине пути равна  км/ч. Примем расстояние между пунктами за 1. Автомобили были в пути одно и то же время, отсюда имеем:

Таким образом, скорость первого автомобиля была равна 56 км/ч.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка минимума 

а) Запишем исходное уравнение в виде:

б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие отрезку Получим числа:  и 

Площадь основания призмы равна  а объём призмы равен 

В четырёхугольной пирамиде B₁A₁C₁NM высота совпадает с высотой основания призмы A₁B₁C₁, опущенной на сторону A₁C₁, и равна  Основание A₁C₁NM пирамиды B₁A₁C₁NM является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B₁A₁C₁NM равен  то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B₁A₁C₁NM и ABCMB₁N равны.

б) В четырёхугольной пирамиде BACNM высота совпадает с высотой основания призмы ABC, опущенной на сторону AC, и равна  Основание пирамиды BACNM является трапецией, площадь которой равна 9. Объём пирамиды BACNM равен 

Многогранник ABCMB₁N состоит из двух частей: BACNM и MNBB₁. Значит, объём тетраэдра MNBB₁ равен 

Решим неравенство методом интервалов:

а) Четырехугольник CDPQ вписан в окружность и его стороны PD и CQ параллельны, следовательно, CDPQ ― либо прямоугольник, либо равнобедренная трапеция, откуда PQ = CD, но CD = AB, значит, и четырехугольник ABQP ― также прямоугольник или равнобедренная трапеция и, следовательно, около него можно описать окружность, что и требовалось доказать.

б) Поскольку AK ― касательная к данной окружности, а AD ― секущая, имеем: Аналогично находим  откуда  и тогда 

Пусть QH ― высота равнобедренной трапеции CDPQ. Тогда:

Таким образом, 

Пусть сумма кредита равна S. По условия долг перед банком по состоянию на 15-е число должен уменьшаться до нуля равномерно:

Первого числа каждого месяца долг возрастает на 2%, значит, последовательность размеров долга по состоянию на 1-е число такова:

Таким образом, выплаты должны быть следующими:

Всего следует выплатить:

Значит, сумма, взятая в кредит, равна 2 млн рублей.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1) Если  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 1) и радиусом 1.

2) Если  то координаты любой точки прямой  удовлетворяют уравнению.

3) Если  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 2.

Таким образом, в первом случае получаем дугу  окружности  с концами в точках O и A(0; 2), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу  окружности с концами в точках A и B(0; −2) (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, параллельно прямой y = x или совпадающую с ней.

Прямые m проходят через точки B, O и A при  и  соответственно.

При  и  прямые m касаются дуг  и  соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, имеет одну общую точку с дугой при  и  имеет две общие точки с дугой  при  имеет одну общую точку с дугой  при  и имеет две общие точки с дугой  при 

Число решений исходной системы равно числу точек пересечений прямой l и дуг  и с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при   

а) Например, если были написаны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми провели эти действия, то их среднее было равно 6, а после описанных действий оно станет равно 10.

б) Пусть x количество изначально написанных единиц, которые превратятся в нули, а y — количество прочих уменьшаемых чисел. Тогда сумма всех чисел равна , а сумма всех чисел, кроме будущих нулей, равна , и их  штук.

После описанных действий будет  чисел с общей суммой  Значит,

Отсюда следует, что  Но тогда , что невозможно.

в) Обозначая как в пункте б) получаем, что нужно максимизировать значение выражения  Очевидно, следует взять  и максимизировать , то есть следует максимизировать x.

Заметим однако, что сумма изначальных чисел не превосходит , откуда , ,  Тогда требуемое выражение будет равно  Это возможно, например, для набора из шести единиц, числа 14 и тринадцати чисел по 40, из которых уменьшают все единицы и только их, получая