Математика (проф. ур.) (Вариант 4)
Параллелограмм и окружность расположены так, что сторона AB касается окружности, CD является хордой, а стороны DA и BC пересекают окружность в точках P и Q соответственно.
а) Докажите, что около четырехугольника ABQP можно описать окружность.
б) Найдите длину отрезка DQ, если известно, что AP = a, BC = b, BQ = c.
Ответ
/Tablitsy%20s%20formulami/Planimetriya.jpg)
а) Четырехугольник CDPQ вписан в окружность и его стороны PD и CQ параллельны, следовательно, CDPQ ― либо прямоугольник, либо равнобедренная трапеция, откуда PQ = CD, но CD = AB, значит, и четырехугольник ABQP ― также прямоугольник или равнобедренная трапеция и, следовательно, около него можно описать окружность, что и требовалось доказать.
б) Поскольку AK ― касательная к данной окружности, а AD ― секущая, имеем:
Аналогично находим 
откуда 
и тогда 
Пусть QH ― высота равнобедренной трапеции CDPQ. Тогда:
Таким образом, 
/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2/%D0%BC7/mp_-7_16.svg)