Математика (проф. ур.) (Вариант 4)
В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 все рёбра равны 6. На рёбрах AA1 и CC1 отмечены точки M и Nсоответственно, причём AM = 2, CN = 1.
а) Докажите, что плоскость MNB1 разбивает призму на два многогранника, объёмы которых равны.
б) Найдите объём тетраэдра MNBB1.
Ответ
/Tablitsy%20s%20formulami/Stereometriya.jpg)
Площадь основания призмы равна 
а объём призмы равен 
В четырёхугольной пирамиде B1A1C1NM высота совпадает с высотой основания призмы A1B1C1, опущенной на сторону A1C1, и равна 
Основание A1C1NM пирамиды B1A1C1NM является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B1A1C1NM равен 
то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B1A1C1NM и ABCMB1N равны.
б) В четырёхугольной пирамиде BACNM высота совпадает с высотой основания призмы ABC, опущенной на сторону AC, и равна Основание пирамиды BACNM является трапецией, площадь которой равна 9. Объём пирамиды BACNM равен 
Многогранник ABCMB1N состоит из двух частей: BACNM и MNBB1. Значит, объём тетраэдра MNBB1 равен 
/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2/%D0%BC7/mp_-7_14.svg)