Математика (проф. ур.) (Вариант 5)
Возрастающие арифметические прогрессии 
и 
состоят из натуральных числе.
а) Приведите пример таких прогрессий, для которых 
б) Существуют ли такие прогрессии, для которых 
?
в) Какое наибольшее значение может принимать произведение 
если 
?
Ответ
а) Подходящим примером являются прогрессии 1, 3, 5,... и 1, 4, 7,... Для этих прогрессий имеем
б) Обозначим через c и d разности арифметических прогрессий 
и 
соответственно. Тогда:
и 
Если 
то 
Пришли к противоречию, ведь по условию 
в) По условию 
По доказанному в пункте (б) имеем: Значит,
то есть 
Покажем, что случай 
возможен. Это равенство выполняется, например, для прогрессий 5, 6, 7, 8,... и 12, 13, 14, 15,... Для этих прогрессий 
и 