Математика (проф. ур.) (Вариант 5)
В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O.
а) Докажите, что 
б) Найдите площадь трапеции, если 
а основания равны 5 и 7.
Ответ
/Tablitsy%20s%20formulami/Planimetriya.jpg)
а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому AO и BO — биссектрисы углов BAD и ABC. Сумма этих углов равна 
, поэтому сумма углов BAO и ABOравна 
Аналогично, 
Тогда 
Следовательно, 
/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2/%D0%BC6/mp_6_16.svg)
б) Окружность радиуса R, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, касается ее сторон AB, BC, CD и AD в точках 
соответственно. Тогда AKON и BKOL — квадраты, поэтому 
Значит,
Отрезок 
— высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, поэтому 
то есть 
Откуда находим, что 
Следовательно, площадь трапеции равна:
/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2/%D0%BC6/mp_6_16_1.svg)