Математика (проф. ур.) (Вариант 8)
В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КНсоответственно.
а) Докажите, что прямые ЕН и АС параллельны;
б) Найдите отношение ЕН : АС, если угол АВС равен 30°.
Ответ
/Tablitsy%20s%20formulami/Planimetriya.jpg)
Заметим, что отрезок AC виден из точек K и M под углом 90°, поэтому точки М, К, Си А лежат на одной окружности, диаметром которой является отрезок АС. Аналогично, точки M, K, H, E лежат на окружности, диаметром которой является MK.
Пусть 
Тогда 
, так как они опираются на одну дугу KC в окружности, описанной вокруг четырёхугольника AMKC. Кроме того, 
так как они опираются на одну дугу KH в окружности, описанной вокруг четырёхугольника MKHE. Так как 
прямые EH и АС параллельны, поскольку это соответственные углы при пересечении EH и ACсекущей OA. Это и требовалось доказать.
б) Используем подобие треугольников:
, 
кроме того, 
поэтому 
тогда EH = 
Тем самым искомое отношение длин сторон равно 3:4.
/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2/%D0%BC3%20%D0%B2%D0%B0%D1%80/mp_-3_16.svg)