В доме, в котором живет Оля, на девяти этажах каждого подъезда 9  3 = 27 квартир. Разделим 32 на 27:

Значит, Оля живет во 2-м подъезде.

Из диаграммы видно, что было 2 месяца, когда среднемесячная температура превышала 20 градусов Цельсия.

Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме "Соли", равна

Решим уравнение:

Если , то  и 

Значениям  соответствуют большие положительные корни.

Значениям  соответствуют отрицательные значения корней.

Наименьшим положительным решением является 1.

Из точки C хорда АВ видна под углом АCВ. Пусть большая часть окружности равна 5x, тогда меньшая равна 3x.

Значит, меньшая дуга окружности равна 135°, а большая — 225°. Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается, значит, опирающийся на большую дугу угол АCВ равен 112,5°.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB:

Объем пирамиды равен

,

где  — площадь основания, а   — высота пирамиды. Найдём площадь равностороннего треугольника, лежащего в основании:

,

Тогда объем пирамиды равен

Заметим, что

поэтому

Задача сводится к решению уравнений  и  при заданном значении R:

Следовательно, чтобы видеть горизонт на более далеком расстоянии, наблюдателю нужно подняться на  метра. Для этого ему необходимо подняться на  ступенек.

В первый день турист прошел  км, во второй — , …, в последний —  км. Всего он прошел  км. Если каждый день турист проходил больше, чем в предыдущий день, на  км, то

где  дней,  км. Таким образом,

Тогда за третий день турист прошел

Найдем производную заданной функции:  Уравнение  не имеет решений, производная положительна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является возрастающей. Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является

а) Преобразуем уравнение:

откуда 

б) При помощи тригонометрической окружности отберем корни уравнения, принадлежащие промежутку  

а) Стороны треугольника SBD равны 5, 5 и  поэтому он прямоугольный, то есть прямая SDперпендикулярна прямой SB. Очевидно, что прямые SB и PQ параллельны как стороны равносторонних треугольников, тогда прямая SD перпендикулярна прямой PQ. Прямая ACперпендикулярна прямой BD, и по теореме о трёх перпендикулярах прямая AC перпендикулярна прямой SD, а значит, и прямая QR перпендикулярна прямой SD. Таким образом, плоскость PQRперпендикулярна ребру SD.

б) Пусть плоскость PQR пересекает ребро SD в точке E. Из доказанного следует, что прямая PE перпендикулярна прямой SD, откуда

Значит,  Поскольку плоскость PQR перпендикулярна ребру SD, искомое расстояние равно DE.

Для данного вопроса нет пояснения

Заметим, что отрезок AC виден из точек K и M под углом 90°, поэтому точки М, К, Си А лежат на одной окружности, диаметром которой является отрезок АС. Аналогично, точки M, K, H, E лежат на окружности, диаметром которой является MK.

Пусть  Тогда , так как они опираются на одну дугу KC в окружности, описанной вокруг четырёхугольника AMKC. Кроме того,  так как они опираются на одну дугу KH в окружности, описанной вокруг четырёхугольника MKHE. Так как  прямые EH и АС параллельны, поскольку это соответственные углы при пересечении EH и ACсекущей OA. Это и требовалось доказать.

б) Используем подобие треугольников:

,  кроме того,  поэтому  тогда EH = 

Тем самым искомое отношение длин сторон равно 3:4.

Поскольку  прибыль фирмы составляет

 (рублей).

Эта величина является квадратичной функцией от Q, а её максимум достигается при  Значит, общая сумма налогов, собранных государством, будет равна  рублей. Эта величина является квадратичной функцией от t, а её максимум достигается при 

Решим вспомогательную противоположную задачу: найдём все , при каждом из которых неравенство

выполнено при любом  Заметим далее, что данное неравенство равносильно неравенству

причём функция  строго монотонно возрастает на множестве действительных чисел и, следовательно, первоначальное неравенство выполняется для всех  тогда и только тогда, когда  то есть

Отметим, что при  полученное неравенство верно. Если  то неравенство равносильно неравенству

Таким образом, существует только одно целое отрицательное значение  при котором условие вспомогательной задачи не выполнено. Следовательно, при значении  существует такое  что неравенство  не выполнено.

а) Будем последовательно складывать числа, пока сумма не станет больше 110. Теперь удалим последнее добавленное число. Поскольку оно было не больше 11, сумма осталась больше 110 − 11 = 99. Утверждение верно.

б) Рассмотрим 12 чисел, равных 10,1. Их сумма равна 121,2 > 110. Если взять любые 11 из них, то сумма будет равна 111,1 > 110, а если взять меньше, чем 11 чисел, то сумма будет не больше  Следовательно, не из любого набора чисел можно выбрать несколько чисел, обладающих указанными свойствами.

в) Пусть в наборе найдутся 10 чисел, больших 10. Тогда их сумма больше 100, но не больше чем 110, и они являются искомыми.

Если в наборе 9 или меньше чисел, больших 10. Тогда их сумма меньше 99, и можно поступить как в пункте a): последовательно прибавлять к ним те, которые меньше 10, пока сумма не станет больше 110. После чего мы можем выкинуть из суммы последнее добавленное число. Сумма окажется меньше 110, но больше 100, поскольку вычеркнули число, меньшее 10.

Таким образом, утверждение верно.