Математика (проф. ур.) (Вариант 8)
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD все рёбра равны 5. На рёбрах SA, AB, BC взяты точки P, Q, Rсоответственно так, что PA = AQ = RC = 2.
а) Докажите, что плоскость PQR перпендикулярна ребру SD.
б) Найдите расстояние от вершины D до плоскости PQR.
Ответ
/Tablitsy%20s%20formulami/Stereometriya.jpg)
а) Стороны треугольника SBD равны 5, 5 и 
поэтому он прямоугольный, то есть прямая SDперпендикулярна прямой SB. Очевидно, что прямые SB и PQ параллельны как стороны равносторонних треугольников, тогда прямая SD перпендикулярна прямой PQ. Прямая ACперпендикулярна прямой BD, и по теореме о трёх перпендикулярах прямая AC перпендикулярна прямой SD, а значит, и прямая QR перпендикулярна прямой SD. Таким образом, плоскость PQRперпендикулярна ребру SD.
б) Пусть плоскость PQR пересекает ребро SD в точке E. Из доказанного следует, что прямая PE перпендикулярна прямой SD, откуда
/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2/%D0%BC3%20%D0%B2%D0%B0%D1%80/mp_-3_14.svg)
Значит, 
Поскольку плоскость PQR перпендикулярна ребру SD, искомое расстояние равно DE.