Математика (проф. ур.) (Вариант 10)
В параллелепипеде 
точка F середина ребра AB, а точка E делит ребро DD1 в отношении 
Через точки F и E проведена плоскость 
параллельная прямой AC и пересекающая диагональ B1D в точке О.
а) Докажите, что плоскость 
делит диагональ DB1 в отношении 
б) Найдите угол между плоскостью и плоскостью (АВС), если дополнительно известно, что ― правильная четырехугольная призма, сторона основания которой равна 4, а высота равна 7.
Ответ
/Tablitsy%20s%20formulami/Stereometriya.jpg)
а) Поскольку плоскость параллельна прямой AC, то она пересекает грань ABСD по некоторой прямой FL, параллельной прямой AC. Пусть точка 
и прямая FL пересекает прямую BD в точке K а прямая KE пересекает прямую BB1 в точке P. Тогда точка пересечения прямых B1D и KE есть точка пересечения плоскости 
с диагональю B1D (см. рис. 1).
Прямая FL параллельна AC, значит, точка F середина ребра AB, Тогда, отрезок FL ― средняя линия треугольника ABC и, следовательно, 
Положим 
тогда 
Далее имеем (см. рис. 2):
1) Треугольники 
и 
— подобны, откуда 
Таким образом 
, 
/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2/%D0%BC1%20%D0%B2%D0%B0%D1%80/%D0%BC%D0%BF-1_14_1.svg)
б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.
Получим 
/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2/%D0%BC1%20%D0%B2%D0%B0%D1%80/%D0%BC%D0%BF-1_14_2.svg)
Ответ: а) 
б) 