Цена чайника после повышения стала составлять 116% от начальной цены. Разделим 3480 на 1,16:

Значит, цена чайника до повышения составляла 3000 рублей.

Расположим страны в порядке убывания количества выплавки меди в год:

1) Папуа — Новая Гвинея

2) Аргентина

3) Бразилия

4) Монголия

5) Узбекистан

6) Болгария

7) ЮАР

8) Швеция

9) Португалия

10) Лаос

11) Индия

Монголия находится на четвёртом месте

Найдем квадрат радиуса круга  см².

Площадь фигуры равна пяти восьмым площади этого круга. Поэтому

 см².

Последовательно получаем:

Периметр прямоугольника равен сумме длин его сторон. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину. Пусть одна из сторон прямоугольника равна a, вторая равна b. Периметр прямоугольника будет соответственно равен P = 2  a + 2  b = 54. Диагональ образует в прямоугольнике два прямоугольных треугольника. По теореме Пифагора a² + b² = 676. Тогда имеем:

Тем самым, S = a · b = 26,5.

Касательная параллельна горизонтальной прямой в точках экстремумов, таких точек на графике 5.

Диаметр шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна  Если ребро куба равно , то диагональ куба дается формулой  Следовательно, ребро куба равно 2, а его объем равен 8.

Последовательно получаем:

Обозначим  — число деталей, которые изготавливает за час второй рабочий. Тогда первый рабочий за час изготавливает  деталь. На изготовление 99 деталей первый рабочий тратит на 2 часа меньше, чем второй рабочий на изготовление 110 таких же деталей, отсюда имеем:

Таким образом, второй рабочий делает 10 деталей в час.

Найдем производную заданной функции:  Уравнение  не имеет решений, производная отрицательна при всех значениях переменной, поэтому заданная функция является убывающей. Следовательно, наименьшим значением функции на заданном отрезке является

а) Воспользуемся формулой  Из неё следует, что  Поэтому из исходного уравнения получаем:

а) Поскольку плоскость  параллельна прямой AC, то она пересекает грань ABСD по некоторой прямой FL, параллельной прямой AC. Пусть точка  и прямая FL пересекает прямую BD в точке K а прямая KE пересекает прямую BB₁ в точке P. Тогда точка пересечения прямых B₁D и KE есть точка пересечения плоскости  с диагональю B₁D (см. рис. 1).

Прямая FL параллельна AC, значит, точка F середина ребра AB, Тогда, отрезок FL ― средняя линия треугольника ABC и, следовательно, 

Положим  тогда 

Далее имеем (см. рис. 2):

1) Треугольники  и  — подобны, откуда  Таким образом , 

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.

Получим 

Ответ: а)  б) 

Область определения неравенства задается условием  На множестве  имеем:

a) Расстояние от центра окружности до хорд одинаковой длины равны. Следовательно, точка Oравноудалена от прямых AB, BC, CD и AD. Значит, она лежит на биссектрисе каждого из углов трапеции.

б) Опустим из точки O перпендикуляры OU, OV и OW на стороны AD, AB и BCсоответственно. Тогда  UW — высота трапеции, а точка V — середина отрезка KL. Значит,

Пусть BH — высота трапеции. В прямоугольном треугольнике ABH имеем:

Для данного вопроса нет пояснения

Пусть число  — решение данного уравнения при некотором значении параметра  Тогда число  есть его решение при том же значении  Если решение единственно, то решения  и  совпадают, то есть

Подставив это решение в исходное уравнение, получим:

откуда 

Пусть  Тогда исходное уравнение примет вид

Отсюда следует, что  следовательно,

Исходное уравнение принимает вид  и оно имеет единственное решение  удовлетворяющее условию  Следовательно,  удовлетворяет условию задачи.

а) Если числа равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и 128, то никакие три из них не образуют хорошую тройку.

Другой пример — последовательность чисел Фибоначчи: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

б) Если одно из чисел является длиной гипотенузы для двух треугольников, какое-то из оставшихся трёх чисел является длиной катета для этих двух треугольников, а тогда треугольники окажутся равными по гипотенузе и катету. Значит, каждое число может быть длиной гипотенузы не более чем одного треугольника. При этом два самых маленьких числа не могут являться длиной гипотенузы треугольника. Значит, среди четырёх чисел можно найти не более двух отличных троек.

Другое рассуждение для п. б). Расположим числа в порядке возрастания:  и отметим, что гипотенузой могут быть только два больших числа. Запишем три равенства на гипотенузу треугольника:    и заметим, что из последних двух равенств следует равенство чисел  противоречащее условию.

в) Упорядочим числа по возрастанию. Самое большое из них может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках (в противном случае одно из оставшихся 11 чисел будет длиной катета в двух треугольниках с данной гипотенузой, а тогда эти треугольники будут равны по гипотенузе и катету). Аналогично, второе по величине число может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках, третье и четвёртое — в четырёх, пятое и шестое — в трёх. седьмое и восьмое — в двух, девятое и десятое — в одном. Итого. отличных троек может получиться не более 30. Тридцать отличных троек найдётся, например, для следующего набора чисел: