Математика (проф. ур.) ((C5). Финансовая математика)
Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят 
тыс. рублей в конце года 
В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счёте будет увеличиваться в 
раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счёте была наибольшей. Расчёты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных значениях r это возможно?
Ответ
Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце кода k, то в конце двадцать пятого года на его счёте будет 
тыс. рублей.
Найдем производную полученного выражения:
Заметим, что найденная производная равна нулю в единственной точке 
положительна при 
и отрицательна при 
Следовательно, 
возрастает на 
и убывает на 
Из условия известно, что продавать бумаги необходимо в конце 21 года, следовательно, доход, полученный при продаже бумаг в конце 21 года, больше, чем доход, который мог бы получить фонд при продаже бумаг в конце 20-го года и в конце 22 года. Из выясненного выше характера монотонности функции можно заключить, что выполнение неравенств 
и 
гарантирует, что 
для всех значений k, отличных от 21. А значит, необходимо и достаточно найти решения системы неравенств:
(*)