Если первый платеж банку Аркадия составил x рублей, то второй составит 2x рублей, а третий — 3x рублей, всего 6x рублей, что равно 2 395 800, то есть x = 2 395 800 : 6 = 399 300. Отсюда: 2x = 798 600, 3x = 1 197 900.

Пусть в банке Аркадий взял в кредит S рублей.

Тогда его долг 01.03.2011 составил 1,1S рублей. После первого перечисления Аркадия долг снизился до (1,1S − 399 300) руб.

01.03.2012 банк начислил проценты на долг Аркадия. Долг Аркадия стал (1,1S − 399 300) · 1,1 = 1,21S − 439 230 (руб.)

Аркадий перевел в банк 798 600 руб. Долг снизился до 1,21S − 439230 − 798600 = 1,21S − 1237830 (руб.)

01.03.2013 банк начислил проценты на оставшийся долг Аркадия. Долг Аркадия стал (1,21S − 1237830) · 1,1 = 1,331S − 1 361 613 (руб.)

Аркадий перевел в банк 1 197 900 руб. Кредит погашен полностью, долга у Аркадия нет.

Значит, 1,331S − 1 361 613 − 1 197 900 = 0 ⇔ 1,331S = 2 559 513 ⇔ S = 1 923 000.

Ответ: 1 923 000 рублей.

Долг на конец месяца:

Долг с учетом процентов:

Выплаты за первые 12 месяцев:

Их сумма равна:

Ответ: 1 866 000 рублей.

Пусть акции проданы в конце года t за t² тыс. руб., и полученная сумма положена в банк на оставшиеся 20 − t лет под 25% годовых. Тогда цена акций на конец срока составит  тыс. руб. Найдём наибольшее значение полученной функции на множестве натуральных t, не превосходящих 20. Имеем:

Найденная производная обращается в нуль в точке  и меняет в ней знак с плюса на минус. Следовательно, это точка максимума. Заметим, что

Из полученной оценки следует, что точка максимума лежит на интервале (8; 10). Сравним значения функции в точках 8, 9 и 10. Поскольку

наибольшее значением функции на множестве натуральных аргументов достигается в точке 9. Продавать акции необходимо в конце девятого года.

Ответ: в конце девятого года.

Скорость сближения Алексея и Жучки (разность скоростей) Δv = 9 км/ч. Первоначальная разность расстояний между хозяином и собакой составляет ΔS = 6 км. Найдем разностное отношение  часа. Это и есть время, которое потребовалось Жучке, чтобы догнать Алексея.

С того времени, как Жучка бежала за хозяином, Алексей прошел расстояние, равное  км. В соответствии с условием задачи Алексей прошел еще 6 км пока Жучка была дома. Значит, в направлении от дома Алексей, будучи на прогулке, прошел  км. Такой же путь Алексей прошел после того, как Жучка догнала его, но в обратном направлении. На преодоление этого пути (со скоростью 4 км/ч) потребовалось  часа. Итак, вся прогулка Алексея продлилась

Эта сумма будет наименьшей, когда сумма двух взаимно обратных положительных выражений  и  примет наименьшее значение. И эта наименьшая сумма заведомо известна, она равна 2 (классическое неравенство  — наименьшее значение достигается при a = 1). Следовательно, в нашем случае должно выполняться равенство  то есть v = 6 км/ч. Время всей прогулки Алексея составляет  часа.

Ответ: 6 км/ч,  часа.

Пусть сред­ства кли­ен­тов, име­ю­щих­ся в банке, со­став­ля­ет S у.е.

Наи­мень­шая при­быль, ко­то­рую банку могут при­не­сти оба про­ек­та 0,25S.

Банк по­лу­чит наи­мень­шую чи­стую при­быль если он своим кли­ен­там вы­пла­тит про­цен­ты по выс­шей став­ке (20%). Рас­счи­та­ем этот по­ка­за­тель: 

Наи­боль­шая при­быль, ко­то­рую банку могут при­не­сти оба про­ек­та 0,3S.

Банк по­лу­чит наи­боль­шую чи­стую при­быль, если банк своим кли­ен­там вы­пла­тит про­цен­ты по низ­шей став­ке (10%).

Ответ: 5%; 20%.

Пусть в регионе В проживало n человек.

Составим таблицу изменения среднемесячного дохода на душу населения по данным задачи.

	2014	2015	2016	2017
Регион А
Среднемесячный доход на душу населения	43740	43740 · 1,25	43740 · 1,252	43740 · 1,253
Регион В
Суммарный доход жителей	60 000 n	60 000 n · 1,17	60 000 n · 1,172	60 000 n · 1,173
Число жителей	n
Среднемесячный доход на душу населения	60 000

По условию  откуда

Следовательно,  откуда  Тем самым, население региона B росло на 4% в год.

Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года k, то в конце двадцатого года на его счёте будет  тыс. рублей.

Сравним числа  и 

Уравнение  имеет корень . Таким образом,  при  при  Значит,

 

поэтому наибольший член последовательности (a_k) — это a₅, то есть ценные бумаги надо продавать в конце пятого года.

Ответ: 5.

Пусть сумма кре­ди­та S еже­год­ные вы­пла­ты x,  По усло­вию долг на июль ме­ня­ет­ся так:

Если долг вы­пла­чен двумя рав­ны­ми пла­те­жа­ми x₂, то  от­ку­да

Если долг вы­пла­чен че­тырь­мя рав­ны­ми пла­те­жа­ми x₄, то  от­ку­да

Тогда

от­ку­да  Сле­до­ва­тель­но, 

Ответ: 10.

Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце кода k, то в конце двадцать пятого года на его счёте будет  тыс. рублей.

Найдем производную полученного выражения:

Заметим, что найденная производная равна нулю в единственной точке  положительна при  и отрицательна при  Следовательно,  возрастает на  и убывает на  Из условия известно, что продавать бумаги необходимо в конце 21 года, следовательно, доход, полученный при продаже бумаг в конце 21 года, больше, чем доход, который мог бы получить фонд при продаже бумаг в конце 20-го года и в конце 22 года. Из выясненного выше характера монотонности функции  можно заключить, что выполнение неравенств  и  гарантирует, что  для всех значений k, отличных от 21. А значит, необходимо и достаточно найти решения системы неравенств:

Обозначим буквой t время, прошедшее с начального момента времени. Поскольку каждый велосипедист движется по взаимно перпендикулярным дорогам, то расстояние между ними может быть вычислено по теореме Пифагора. Рассмотрим f (t) — квадрат длины в каждый момент времени, тогда:

Итак,  У данной квадратичной функции есть наименьшее значение, которое достигается при  мин. Найдем его:

Таким образом минимальное расстояние между велосипедистами равно  км, и будет достигнуто через  мин.

Ответ:  мин,  км.