Пенсионный фонд владеет акциями, цена которых к концу года t становится равной t2 тыс. руб. (т. е. к концу первого года они стоят 1 тыс. руб., к концу второго — 4 тыс. руб. и т. д.), в течение 20 лет. В конце любого года можно продать акции по их рыночной цене на конец года и положить вырученные деньги в банк под 25% годовых. В конце какого года нужно продать акции, чтобы прибыль была максимальной?
Математика (проф. ур.) ((C5). Финансовая математика)
Ответ
Пусть акции проданы в конце года t за t2 тыс. руб., и полученная сумма положена в банк на оставшиеся 20 − t лет под 25% годовых. Тогда цена акций на конец срока составит 
тыс. руб. Найдём наибольшее значение полученной функции на множестве натуральных t, не превосходящих 20. Имеем:
Найденная производная обращается в нуль в точке 
и меняет в ней знак с плюса на минус. Следовательно, это точка максимума. Заметим, что
Из полученной оценки следует, что точка максимума лежит на интервале (8; 10). Сравним значения функции в точках 8, 9 и 10. Поскольку
наибольшее значением функции на множестве натуральных аргументов достигается в точке 9. Продавать акции необходимо в конце девятого года.
Ответ: в конце девятого года.