Математика (проф. ур.) ((C4). Планиметрическая задача)
Точки A1, B1 и C1 — середины сторон соответственно BC, AC и AB остроугольного треугольника ABC.
а) Докажите, что отличная от A1 точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A1CB1 и A1BC1, лежит на окружности, описанной около треугольника B1AC1.
б) Известно, что AB = AC = 10 и BC = 12. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, вершинами которого являются центры окружностей, описанных около треугольников A1CB1, A1BC1 и B1AC1.
Ответ
/Tablitsy%20s%20formulami/Planimetriya.jpg)
а) Пусть O — отличная от A1 точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A1CB1 и A1BC1 (рис. 1).
Тогда
откуда 
Значит, 
следовательно, точки A, B1, O и C1 лежат на одной окружности.
/profil/-12/16.svg)
/profil/-12/16.1.svg)
б) Пусть O1, O2 и O3 — центры окружностей, описанных около треугольников B1AC1, A1BC1 и A1CB1 соответственно (рис. 2). Заметим, что 
как радиусы описанных окружностей около равных треугольников. Значит, треугольники AO1C1 и C1O2B равны. Кроме того, треугольник O2C1O1 также равен этим треугольникам, поскольку
/profil/-12/16.2.svg)
Таким образом, 
Аналогично, 
поэтому треугольник O1O2O3 подобен треугольнику ABC с коэффициентом 
и радиус вписанной в него окружности равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC.
Пусть M — середина BC, а радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r (рис. 3). Тогда площадь треугольника ABC
C другой стороны, высота равнобедренного треугольника ABC равна 
поэтому 
Значит, r = 3. Искомый радиус равен 
Ответ: 1,5.