Математика ((C6). Геометрическая задача повышенной сложности)
Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 36 и 45, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Ответ
Пусть Q — центр большей окружности, а O — центр меньшей, QM и ON — радиусы, проведённые в точки касания окружностей с прямой AC , S — центр окружности, описанной около треугольника ABC , r — радиус окружности, описанной около треугольника ABC .
Поскольку BC и AB — общие касательные к окружностям, BO и BQ — биссектрисы углов ABK и смежного с ним. Значит, угол OBQ прямой, следовательно, из треугольника OBQ находим, что 
Пусть AN = x. Прямоугольные треугольники ANO и AMQ подобны с коэффициентом 1,25, значит, AM = 1,25x , MN = 0,25x.
Отрезки MC , CK и CN равны как отрезки касательных, проведённых из одной точки, значит, 
, 
, откуда 
.
В прямоугольном треугольнике ABK находим неизвестный катет:
В прямоугольном треугольнике SBK по теореме Пифагора имеем
; 
/-20/26.svg)
Ответ: 182,25.