Продолжим стороны  и  до их пересечения в точке  Угол  равен 90°, поскольку сумма углов  и  равна 90°. Рассмотрим треугольники  и  они прямоугольные, углы  и  равны как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, эти треугольники подобны, откуда  Найдём 

Пусть окружность касается прямой  в точке  причём точка  может лежать или на стороне  или на её продолжении. Отрезок  перпендикулярен прямой  как радиус проведённый в точку касания,  и  — радиусы.

Треугольник  — равнобедренный,  — высота, следовательно,  является медианой и биссектрисой. Четырехугольник  — прямоугольник, потому что все его углы прямые. Откуда:

Введём обозначения, как показано на рисунке. Отрезок  проходит через центр описанной окружности, следовательно,  — диаметр. Углы  и  — вписанные и опираются на одну и ту же дугу, значит, они равны. Из прямоугольного треугольника   Из прямоугольного треугольника   Рассмотрим прямоугольный треугольник  углы  и  равны, значит, 

Введём обозначения, как показано на рисунке. Угол  и  равны как углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Рассмотрим треугольники  и  они прямоугольные, углы  и  равны, следовательно, эти треугольники подобны, откуда  Диагонали ромба делятся точкой пересечения пополам:  Получаем:

Из прямоугольного треугольника  используя теорему Пифагора найдём 

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники  и  угол C — общий, углы  и  равны друг другу как соответственные углы при параллельных прямых, следовательно, треугольники  и  подобны. Откуда  поэтому  Аналогично, из треугольников  и  получаем, что  Таким образом, 

По свойству равнобедренной трапеции  следовательно, треугольники  и  равны. Так как  =  треугольники  и  равнобедренные, следовательно,  и  — соответствующие медианы этих треугольников. Значит,  Отрезок  соединяет середины диагоналей трапеции, следовательно,  и прямые   и  параллельны, поэтому,  — трапеция. Проведём  — высоту трапеции  и  — высоту трапеции . Прямоугольные треугольники  и  подобны, значит, 

Площадь трапеции : 

Площадь трапеции 

Пусть T — точка пересечения прямых AB и CD, P — проекция точки E на прямую CD, Q — проекция точки C на прямую AD (см. рис.). Обозначим ∠CDA = a, CD = x.

Поскольку QD = AD − AQ = AD − BC = 2, получаем, что 

Из подобия треугольников TBC и TAD находим, что TC = 6x.

Поэтому

Следовательно,

Ответ: 

Проведем построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольник   — биссектриса, по свойству биссектрисы:

Рассмотрим треугольник   — биссектриса, по свойству биссектрисы:

Складывая два получившихся равенства, получаем:

Таким образом, периметр треугольника  равен 1230.

Ответ: 1230.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. В четырёхугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон равны:

Периметр трапеции — сумма длин всех сторон:

Следовательно,  Площадь трапеции можно найти как произведение полусуммы оснований на высоту:

Высоты  и  равны. Из прямоугольного треугольника  найдём 

Рассмотрим треугольники  и  они прямоугольные,  равно   равно  следовательно, треугольники равны, откуда  Прямые  и  перпендикулярны прямой  поэтому они параллельны,  равно , следовательно, четырёхугольник  — параллелограмм, по признаку параллелограмма, откуда  Рассмотрим выражение для отрезка 

Получаем систему уравнений на отрезки  и 

Рассмотрим треугольники  и  углы CAD и BCA равны как накрест лежащие при параллельных прямых, углы  и  равны как вертикальные, следовательно, треугольники подобны. Откуда:

Высота  Значит, искомое расстояние 

Ответ: 1,8.

Центр окружности является точкой пересечения биссектрис углов  и . При этом по свойству касательных . Следовательно, длины ломаных  и  равны полупериметру . По условию .

Найдем радиус  из прямоугольного треугольника . В треугольнике 

катет  лежит против угла 30°, значит, 

Ответ: 3.

Пусть Q — центр большей окружности, а O — центр меньшей, QM и ON — радиусы, проведённые в точки касания окружностей с прямой AC , S — центр окружности, описанной около треугольника ABC , r — радиус окружности, описанной около треугольника ABC .

Поскольку BC и AB — общие касательные к окружностям, BO и BQ — биссектрисы углов ABK и смежного с ним. Значит, угол OBQ прямой, следовательно, из треугольника OBQ находим, что 

Пусть AN = x. Прямоугольные треугольники ANO и AMQ подобны с коэффициентом 1,25, значит, AM = 1,25x , MN = 0,25x.

Отрезки MC , CK и CN равны как отрезки касательных, проведённых из одной точки, значит, , , откуда .

В прямоугольном треугольнике ABK находим неизвестный катет:

В прямоугольном треугольнике SBK по теореме Пифагора имеем

Ответ: 182,25.