Рассмотрим функции  и  Количество решений исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков данных функций. Определим, при каких a графики будут иметь более двух общих точек на открытом луче 

Уравнение  задает семейство прямых, проходящих через точку  с угловым коэффициентом, равным a. Изобразим эскиз графика функции f (см. рис.) и заметим, что при  графики не имеют общих точек на промежутке 

Рассмотрим положительные значения параметра. Если угловой коэффициент прямой  меньше, чем у прямой n, или больше, чем у прямой m, то на промежутке  графики будут иметь ровно одну общую точку. Если прямая совпадает с прямой n или с прямой m, то графики будут иметь ровно две общие точки. Графики имеют три общие точки, а исходное уравнение имеет три положительных решения, если прямые  лежат внутри острого угла, образованного прямыми nи m. Найдем граничные значения параметров, соответствующие этим прямым.

Прямая n проходит через точку  тогда  откуда находим  Заметим, что на луче  функция f принимает вид  и что прямая n вторично пересекает график f в точке 

Прямая m касается ветви гиперболы  Касательная к гиперболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение  или  имеет единственное решение. Чтобы квадратное относительно уравнение имело единственный корень, его дискриминант  должен быть равен нулю, отсюда 

При найденном значении параметра точка касания С имеет координаты  она действительно лежит между точками A и B как показано на рисунке, иначе оказалось бы, что рисунок неверен, и потребовалось бы рассмотреть соответствующую конфигурацию.

Итак, при  исходное уравнение будет иметь более двух корней на