Пусть число  — решение данного уравнения при некотором значении параметра  Тогда число  есть его решение при том же значении  Если решение единственно, то решения  и  совпадают, то есть

Подставив это решение в исходное уравнение, получим:

откуда 

Пусть  Тогда исходное уравнение примет вид

Отсюда следует, что  следовательно,

Исходное уравнение принимает вид  и оно имеет единственное решение  удовлетворяющее условию  Следовательно,  удовлетворяет условию задачи.

Пусть  тогда получим:

Значит, решение исходного уравнения — это решение уравнений  или 

Исследуем сколько решений имеет уравнение  в зависимости от  и  При  и , и  то есть при  левая часть определена и принимает вид

При  выражение  принимает по одному все значения из промежутка  для  и принимает по одному разу все значения из промежутка  для  Значит, при  выражение  принимает по одному разу все значения из промежутка  при  и принимает по одному разу все значения из промежутка  при  Таким образом, уравнение  имеет одно решение при  и не имеет решений при  и  При  и  уравнение принимает вид  и либо имеет бесконечно много решений, либо не имеет решений.

Уравнение  и  могут иметь общие решения при то есть при  При  оба уравнения принимают вид  и имеют одно решение.

При других значениях  исходное уравнение имеет два решения, если оба уравнения  имеют по одному решению. Получаем систему неравенств:

Таким образом, исходное уравнение имеет ровно два решения при  принадлежащем множеству 

Решим вспомогательную противоположную задачу: найдём все , при каждом из которых неравенство

выполнено при любом  Заметим далее, что данное неравенство равносильно неравенству

причём функция  строго монотонно возрастает на множестве действительных чисел и, следовательно, первоначальное неравенство выполняется для всех  тогда и только тогда, когда  то есть

Отметим, что при  полученное неравенство верно. Если  то неравенство равносильно неравенству

Таким образом, существует только одно целое отрицательное значение  при котором условие вспомогательной задачи не выполнено. Следовательно, при значении  существует такое  что неравенство  не выполнено.

Рассмотрим две функции:  и 

Поскольку  получаем :

Функция  является кусочно-линейной функцией, причем при  угловой коэффициент равен либо либо  а при  угловой коэффициент равен либо  либо  Значит, функция  возрастает при  и убывает при  поэтому 

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень тогда и только тогда, когда 

Значит, либо   либо 

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень при  и при  и не имеет корней при других значениях 

Первому уравнению системы удовлетворяют те и только те точки , которые лежат на отрезке AB прямой, соединяющей точки  и , где , поскольку уравнение задаёт множество точек  сумма расстояний от каждой из которых до точек А и В равна , что равно длине отрезка АВ.

Второму уравнению системы удовлетворяют те и только те точки , которые лежат на прямой  параллельной оси абсцисс и проходящей через точку С

Отсюда следует, что условие задачи выполнено тогда и только тогда, когда точка С лежит между точками О и В, причём если точка С совпадает с точкой А или с точкой В, то условие задачи выполнено.

Решим неравенство  Имеем

Возведем в квадрат:

Неравенство  задает на координатной плоскости «верхнюю» полуплоскость с границей  а уравнение  при  ― окружность с центром  и радиусом  (см. рисунок).

Окружность и полуплоскость не имеют общих точек тогда и только тогда, когда радиус окружности меньше половины диагонали PO квадрата APBO, то есть,  откуда 

При  уравнение, а, следовательно, и вся система решений не имеют, а при решением уравнения является пара  которая не удовлетворяет неравенству 

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим три случая.

1) Если  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке Q(0; 1) и радиусом 1.

2) Если  то координаты любой точки прямой  удовлетворяют уравнению.

3) Если  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт окружность с центром в точке O(0; 0) и радиусом 2.

Таким образом, в первом случае получаем дугу  окружности  с концами в точках O и A(0; 2), во втором — прямую l, задаваемую уравнением x = 0, в третьем — дугу  окружности с концами в точках A и B(0; −2) (см. рисунок).

Рассмотрим второе уравнение системы. При каждом значении a оно задаёт прямую m, параллельно прямой y = x или совпадающую с ней.

Прямые m проходят через точки B, O и A при  и  соответственно.

При  и  прямые m касаются дуг  и  соответственно.

Таким образом, прямая m пересекает прямую l при любом значении a, имеет одну общую точку с дугой при  и  имеет две общие точки с дугой  при  имеет одну общую точку с дугой  при  и имеет две общие точки с дугой  при 

Число решений исходной системы равно числу точек пересечений прямой l и дуг  и с прямой m. Таким образом, исходная система имеет ровно три решения при   

Обозначим в исходном уравнении  

Имеем:

Отметим далее, что в силу введённых обозначений  Поэтому искомыми являются те значения параметра, при которых прямые, задаваемые уравнением , имеют с единичной окружностью  точки пересечения, лежащие в первой координатной четверти () и отличные от точек прямой 

В системе координат, изображённой на рисунке, уравнение  задаёт пучок прямых (отмечены красным цветом), проходящих через точку 

Найдем угловой коэффициент прямой, проходящей через (1; 0):  У прямой, проходящей через точку  угловой коэффициент 

Таким образом, условие задачи выполняется, если

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим четыре случая:

1) Если  и  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт пару прямых  и  Случаю удовлетворяют отрезки внутри квадрата  с вершиной в начале координат.

2) Если  и  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу  Случаю удовлетворяет только дуга ниже оси Ox.

3) Если  и  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу  Случаю удовлетворяет только дуга левее оси Oy.

4) Если  и  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт прямую  Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата  с вершиной в начале координат.

Точки    являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых  и/или  поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением  отрезка AB прямой  дуги  параболы  с концами в точках B и C и дуги  параболы  с концами в точках A и C (см. рис.)

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямую AB или совпадающую с ней.

Заметим, что при a = 0 прямая m касается парабол  и  в точке C.

При a = 1 прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При a = 0 прямая m касается дуг  и  в точке C, пересекает прямую l в точке C и не пересекает отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

При  прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг  и  в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.

При  или  прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги  и  и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

Значит, исходная система имеет более двух решений при 

Рассмотрим функции  и  Количество решений исходного уравнения равно количеству точек пересечения графиков данных функций. Определим, при каких a графики будут иметь более двух общих точек на открытом луче 

Уравнение  задает семейство прямых, проходящих через точку  с угловым коэффициентом, равным a. Изобразим эскиз графика функции f (см. рис.) и заметим, что при  графики не имеют общих точек на промежутке 

Рассмотрим положительные значения параметра. Если угловой коэффициент прямой  меньше, чем у прямой n, или больше, чем у прямой m, то на промежутке  графики будут иметь ровно одну общую точку. Если прямая совпадает с прямой n или с прямой m, то графики будут иметь ровно две общие точки. Графики имеют три общие точки, а исходное уравнение имеет три положительных решения, если прямые  лежат внутри острого угла, образованного прямыми nи m. Найдем граничные значения параметров, соответствующие этим прямым.

Прямая n проходит через точку  тогда  откуда находим  Заметим, что на луче  функция f принимает вид  и что прямая n вторично пересекает график f в точке 

Прямая m касается ветви гиперболы  Касательная к гиперболе имеет с ней единственную общую точку, поэтому уравнение  или  имеет единственное решение. Чтобы квадратное относительно уравнение имело единственный корень, его дискриминант  должен быть равен нулю, отсюда 

При найденном значении параметра точка касания С имеет координаты  она действительно лежит между точками A и B как показано на рисунке, иначе оказалось бы, что рисунок неверен, и потребовалось бы рассмотреть соответствующую конфигурацию.

Итак, при  исходное уравнение будет иметь более двух корней на