Математика (проф. ур.) ((C2). Стереометрическая задача)
В правильной треугольной пирамиде SABC сторона основания AB равна 6, а боковое ребро SA равно 
Точки M и N — середины рёбер SA и SB соответственно. Плоскость α содержит прямую MN и перпендикулярна плоскости основания пирамиды.
а) Докажите, что плоскость α делит медиану CL основания в отношении 5 : 1, считая от точки C.
б) Найдите площадь многоугольника, являющегося сечением пирамиды SABC плоскостью α.
Ответ
/Tablitsy%20s%20formulami/Stereometriya.jpg)
а) Отметим точку L — середину AB, O — основание высоты пирамиды, опущенной из вершины S (точка пересечения медиан треугольника ABC), K — точку пересечения SL и MN(очевидно, их общую середину) и 
— основание перпендикуляра из K на плоскость ABC. Поскольку 
и 
то 
— средняя линия треугольника SOL, поэтому
откуда 
Осталось заметить, что это и есть искомая точка пересечения прямой и плоскости.
б) Проведем через прямую, параллельную AB. Обозначим ее точки пересечения со сторонами AC и BC за 
и 
соответственно. Тогда 
— искомое сечение, причем 
поэтому это трапеция.
Ее основания равны 
и 
а высота
Значит 
/%D0%9A%D0%B0%D1%80%D1%82%D0%B8%D0%BD%D0%BA%D0%B8%20%D0%B2%D0%B0%D1%80%D0%B8%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%BE%D0%B2/%D0%BC4%20%D0%B2%D0%B0%D1%80/mp_-4_14.svg)