а) Поскольку плоскость  параллельна прямой AC, то она пересекает грань ABСD по некоторой прямой FL, параллельной прямой AC. Пусть точка  и прямая FL пересекает прямую BD в точке K а прямая KE пересекает прямую BB₁ в точке P. Тогда точка пересечения прямых B₁D и KE есть точка пересечения плоскости  с диагональю B₁D (см. рис. 1).

Прямая FL параллельна AC, значит, точка F середина ребра AB, Тогда, отрезок FL ― средняя линия треугольника ABC и, следовательно, 

Положим  тогда 

Далее имеем (см. рис. 2):

1) Треугольники  и  — подобны, откуда  Таким образом , 

б) При помощи тригонометрической окружности отберём корни, принадлежащие заданному отрезку.

Получим 

Ответ: а)  б) 

а) Пусть  — середина ребра ,  — середина отрезка . В равнобедренных треугольниках  и  медианы  и  являются биссектрисами и высотами. Следовательно, точки ,  и  лежат на одной прямой. Треугольник равнобедренный, так как треугольники  и  равны, а значит,  = . В треугольниках  и  высотами служат отрезки  и  соответственно. Из того, что отрезок  перпендикулярен отрезку  и отрезку  следует, что прямая перпендикулярна плоскости , но перпендикуляр к плоскости перпендикулярен любой прямой, лежащей в ней, следовательно, прямые  и  перпендикулярны.

б) Из решения предыдущего пункта видно, что плоскость  перпендикулярна плоскостям  и , а потому  искомый.

Найдём стороны треугольника .

Ясно, что  и 

В треугольнике  имеем:

Из треугольника  по теореме косинусов находим

Следовательно, 

Из треугольника  по теореме косинусов находим 

а) Стороны треугольника SBD равны 5, 5 и  поэтому он прямоугольный, то есть прямая SDперпендикулярна прямой SB. Очевидно, что прямые SB и PQ параллельны как стороны равносторонних треугольников, тогда прямая SD перпендикулярна прямой PQ. Прямая ACперпендикулярна прямой BD, и по теореме о трёх перпендикулярах прямая AC перпендикулярна прямой SD, а значит, и прямая QR перпендикулярна прямой SD. Таким образом, плоскость PQRперпендикулярна ребру SD.

б) Пусть плоскость PQR пересекает ребро SD в точке E. Из доказанного следует, что прямая PE перпендикулярна прямой SD, откуда

Значит,  Поскольку плоскость PQR перпендикулярна ребру SD, искомое расстояние равно DE.

а) Отметим точку L — середину AB, O — основание высоты пирамиды, опущенной из вершины S (точка пересечения медиан треугольника ABC), K — точку пересечения SL и MN(очевидно, их общую середину) и  — основание перпендикуляра из K на плоскость ABC. Поскольку  и  то  — средняя линия треугольника SOL, поэтому

откуда  Осталось заметить, что  это и есть искомая точка пересечения прямой и плоскости.

б) Проведем через  прямую, параллельную AB. Обозначим ее точки пересечения со сторонами AC и _BC за  и  соответственно. Тогда  — искомое сечение, причем  поэтому это трапеция.

Ее основания равны  и  а высота

Значит 

а) Проведём отрезок , параллельный  Пусть  — точка пересечения отрезков  и  Треугольник  прямоугольный с прямым углом при вершине  Это следует из равенства треугольников  и  Значит, прямые  и перпендикулярны. Прямые  и  перпендикулярны, так как прямая перпендикулярна плоскости  Поэтому прямая  перпендикулярна плоскости , и, следовательно, прямая  перпендикулярна прямой 

б) Указанное сечение — прямоугольник  Его площадь равна 

Площадь основания пирамиды равна 144 − 108 = 36, поэтому AB = 6. Площадь боковой грани равна  Пусть SM — высота грани SAB. Тогда

поэтому SM = 9.

а) Пусть SH — высота пирамиды. Тогда H — середина основания пирамиды. Значит, SH — прямая, по которой пересекаются данные плоскости. Прямая SH перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания пирамиды, в том числе и прямым AH и MH. Значит, угол между плоскостями SAC и SMH — это угол AHM, который равен 45°.

б) Имеем  Тогда 

Площадь основания призмы равна  а объём призмы равен 

В четырёхугольной пирамиде B₁A₁C₁NM высота совпадает с высотой основания призмы A₁B₁C₁, опущенной на сторону A₁C₁, и равна  Основание A₁C₁NM пирамиды B₁A₁C₁NM является трапецией, площадь которой равна 27. Значит, объём пирамиды B₁A₁C₁NM равен  то есть составляет половину объёма призмы. Поэтому объёмы многогранников B₁A₁C₁NM и ABCMB₁N равны.

б) В четырёхугольной пирамиде BACNM высота совпадает с высотой основания призмы ABC, опущенной на сторону AC, и равна  Основание пирамиды BACNM является трапецией, площадь которой равна 9. Объём пирамиды BACNM равен 

Многогранник ABCMB₁N состоит из двух частей: BACNM и MNBB₁. Значит, объём тетраэдра MNBB₁ равен 

а) Треугольник ABC подобен треугольнику MBN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда углы BAC и BMN равны, и AC || MN. Далее, PQ || AC поскольку является средней линией треугольника ADC. Значит, MN || PQ и поэтому P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник APMCQN состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.

Расстояние от P до (BCD) вдвое меньше расстояния от A до (BCD), а площади треугольников QCN и BCD относятся как 1 : 6. Значит, 

Площадь треугольника MBN составляет  площади ABC. Значит,  Расстояние от точки P до (ABC) вдвое меньше расстояния от D до (ABC), поэтому 

Таким образом,  то есть 

а) Для построения сечения опустим перпендикуляры AM и BN на второе основание цилиндра. Отрезки AM и BN параллельны и равны, значит, ABNM — параллелограмм. Так как прямые AM и BN перпендикулярны основаниям цилиндра и, в частности, прямой AB, параллелограмм ABNM является прямоугольником. Отрезки AN и BM равны как диагонали прямоугольника, что и требовалось доказать.

б) Площадь прямоугольника ABNM равна 9 · 2 = 18. Пусть H — точка пересечения отрезков NM и CD. Отрезок OH равен  Высота CH пирамиды CABNM равна Следовательно, объём пирамиды CABNM равен:

Сразу отметим, что в окружности радиуса R расстояние от центра до хорды (то есть до середины хорды) длиной  равно  Поэтому расстояния от центров оснований до хорд равны 5 и 12.

а) Пусть A и  — середины хорд, B — проекция  на другое основание цилиндра. Тогда   поэтому следует выбирать знак , что как раз и означает, что хорды лежат по разные стороны от центров оснований, поэтому центры лежат по разные стороны от плоскости.

б) Указанные две плоскости пересекаются по хорде, содержащей точку A, при этом AB перпендикулярна этой хорде, следовательно и  тоже. Поэтому