Информатика (Выигрышная стратегия)
Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в кучу один камень или увеличить количество камней в куче в шесть раз. Например, имея кучу из 10 камней, за один ход можно получить кучу из 11 или 60 камней. У каждого игрока, чтобы делать ходы, есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче превышает 365. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 366 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 365.
Говорят, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока — значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника.
Выполните следующие задания. Во всех случаях обосновывайте свой ответ.
1. а) При каких значениях числа S Петя может выиграть первым ходом? Укажите все такие значения и выигрывающий ход Пети.
б) Укажите такое значение S, при котором Петя не может выиграть за один ход, но при любом ходе Пети Ваня может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Вани.
2. Укажите два значения S, при которых у Пети есть выигрышная стратегия, причём (а) Петя не может выиграть первым ходом, но (б) Петя может выиграть своим вторым ходом, независимо от того, как будет ходить Ваня.
Для указанных значений S опишите выигрышную стратегию Пети.
3. Укажите такое значение S, при котором
– у Вани есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Пети, и при этом
– у Вани нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения Sопишите выигрышную стратегию Вани. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Вани (в виде рисунка или таблицы). На ребрах дерева указывайте, кто делает ход, в узлах — количество камней в позиции.
Ответ
1. а) Петя может выиграть, если S = 61, …, 365. При меньших значениях S за один ход нельзя получить кучу, в которой больше 365 камней. Пете достаточно увеличить количество камней в 6 раз. При S < 61 получить за один ход больше 365 камней невозможно.
б) Ваня может выиграть первым ходом (как бы ни играл Петя), если исходно в куче будет S = 60 камней. Тогда после первого хода Пети в куче будет 61 камень или 360 камней. В обоих случаях Ваня увеличивает количество камней в 6 раз и выигрывает в один ход.
2. Возможные значения S: 10, 59. В этих случаях Петя, очевидно, не может выиграть первым ходом. Однако он может получить кучу из 60 камней (при S = 10 он увеличивает количество камней в 6 раз; при S = 59 — добавляет 1 камень). Эта позиция разобрана в п. 1б. В ней игрок, который будет ходить (в данном случае это Ваня), выиграть не может, а его противник (то есть, Петя) следующим ходом выиграет.
3. Возможное значение S: 58. После первого хода Пети в куче будет 59 или 348 камней. Если в куче станет 348 камней, Ваня увеличит количество камней в 6 раз и выиграет своим первым ходом. Ситуация, когда в куче 59 камней, разобрана в п. 2. В этой ситуации игрок, который будет ходить (теперь это Ваня), выигрывает своим вторым ходом.
В таблице изображено дерево возможных партий при описанной стратегии Вани. Заключительные позиции (в них выигрывает Ваня) подчёркнуты. На рисунке это же дерево изображено в графическом виде (оба способа изображения дерева допустимы).
| Положения после очередных ходов | ||||
| И.п. | 1-й ход Пети (разобраны все ходы) | 1-й ход Вани (только ход по стратегии) | 2-й ход Пети (разобраны все ходы) | 2-й ход Вани (только ход по стратегии) |
| 58 | 58 + 1 = 59 | 59 + 1 = 60 | 60 + 1 = 61 | 61*6 = 366 |
| 60*6 = 360 | 360*6 = 2160 | |||
| 58*6 = 348 | 348*6 = 2088 | |||
Дерево всех партий, возможных при Ваниной стратегии.
Знаком >> обозначены позиции, в которых партия заканчивается