Через год клиент должен будет выплатить 12 000 + 0,16 · 12 000 = 13 920 рублей. Разделим 13 920 руб. на 12 мес.:

Значит, клиент должен вносить ежемесячно в банк 1160 рублей.

Ответ: 1160.

Из графика видно, что крутящий момент 60 Н · м достигается при 2000 оборотов двигателя в минуту (см. рисунок).

Ответ: 2000.

Рассмотрим события

Тогда

По условию P(A) = P(B) = 0,3; P(A·B) = 0,12.

События A и B совместные, вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий, уменьшенной на вероятность их произведения:

Следовательно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что кофе останется в обоих автоматах, равна 1 − 0,48 = 0,52.

Ответ: 0,52.

Используя формулу , получаем:

Ответ: 13,4.

Отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции равен полуразности большего и меньшего оснований. Поэтому он равен (3 − 2):2 = 0,5.

Ответ: 0,5.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой  или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 2 и  Осталось найти, при каких  производная принимает значение 2. Искомая точка 

Ответ: 5.

Так как ребро куба равно радиусу сферы, в кубе содержится 1/8 часть сферы и, соответственно, 1/8 ее поверхности, равная

Ответ: 1,28.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Ответ: 7.

Формулой, описывающей уменьшение высоты столба воды с течением времени, является

Четверть первоначального объёма воды в баке останется, когда высота столба воды будет 5 м. Определим требуемое на вытекание трех четвертей воды время — найдем меньший корень уравнения :

Таким образом, через 50 секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объёма воды.

Ответ: 50.

Пусть про­из­во­ди­тель­ность каж­до­го из ра­бо­чих равна  за­ка­за в день, и пусть в новом со­ста­ве бри­га­ды до­де­лы­ва­ли за­ка­зы  дней. Тогда за пер­вые 7 дней ра­бо­ты бри­га­да­ми в 16 и 25 че­ло­век было сде­ла­но  и  ча­стей за­ка­зов, а за сле­ду­ю­щие  дней бри­га­да­ми в 24 че­ло­ве­ка и 17 че­ло­век были до­де­ла­ны остав­ши­е­ся  и  ча­стей за­ка­зов. По­сколь­ку в ре­зуль­та­те были це­ли­ком вы­пол­не­ны два за­ка­за, имеем:

Зна­чит, в новом со­ста­ве бри­га­ды ра­бо­та­ли 9 дней. Таким об­ра­зом, по­тре­бо­ва­лось 7 + 9 = 16 дней на вы­пол­не­ний за­ка­зов.

Ответ: 16.

Найдем производную заданной функции:

Производная определена во всех точках заданного отрезка. Найдем ее нули на этом отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

Наименьшим значением функции на заданном отрезке будет наименьшее из чисел  и  Найдем их:

,

Заметим, что , поэтому наименьшее значение функции на отрезке равно −1.

Ответ: −1.

а) Заметим, что в силу формулы  справедлива формула  откуда  Имеем:

б) Неотрицательным значениям параметра k соответствуют положительные значения корней; они не лежат на отрезке  Будем последовательно перебирать отрицательные значения параметра: значению  соответствуют корни  и  значению  соответствуют корни  и  значению  соответствуют корни  и  Меньшим значениям k соответствуют меньшие значения корней; они также не лежат на заданном отрезке. Из вышеперечисленных корней заданному отрезку принадлежат числа  и 

Ответ: а)  б) и 

а) Поскольку

получаем

то есть прямые  и  перпендикулярны.

б) Пусть — середина , тогда угол между прямой  и плоскостью грани  равен углу между этой плоскостью и прямой .

Обозначим через  перпендикуляр, опущенный на . Прямая  перпендикулярна плоскости грани , поскольку она перпендикулярна прямым  и . Поэтому искомый угол равен углу .

В прямоугольном треугольнике :

откуда 

Ответ: б) 30.

а) Пусть E — середина KC. Тогда ME — медиана прямоугольного треугольника CMK, проведенная из вершины прямого угла. Значит,  Кроме того,  Значит, треугольник AME равен треугольнику CMK и тоже прямоугольный, следовательно,  как угол в прямоугольном треугольнике, лежащий напротив катета, который в два раза меньше гипотенузы.

б) Из прямоугольных треугольников ABC и KBC находим, что  

Через вершину A проведем прямую, параллельную BC. Пусть T — точка пересечения этой прямой с прямой MK, а D — точка пересечения прямой BK с прямой AT.

Из равенства треугольников AMT и BMP (по стороне и двум углам) получаем, что  а из подобия треугольников CKP и AKT следует, что  Значит, B — середина CP.

Треугольник AKD подобен треугольнику CKB с коэффициентом  поэтому  а так как , AD — средняя линия треугольника BQP. Значит,

Следовательно, 

Ответ: 14.

Если пенсионный фонд продаст ценные бумаги в конце года k, то в конце двадцатого года на его счёте будет  тыс. рублей.

Сравним числа  и 

Уравнение  имеет корень . Таким образом,  при  при  Значит,

 

поэтому наибольший член последовательности (a_k) — это a₅, то есть ценные бумаги надо продавать в конце пятого года.

Ответ: 5.

Ре­ше­ние си­сте­мы может быть един­ствен­ным в двух слу­ча­ях.

1 слу­чай. Един­ствен­ное ре­ше­ние яв­ля­ет­ся гра­нич­ной точ­кой для мно­же­ства ре­ше­ний каж­до­го из двух не­ра­венств. В этом слу­чае это един­ствен­ное ре­ше­ние долж­но удо­вле­тво­рять си­сте­ме урав­не­ний

Вы­чи­тая из вто­ро­го урав­не­ния пер­вое, по­лу­ча­ем:

Если  то  а зна­чит,  При этом зна­че­нии  си­сте­ма при­ни­ма­ет вид:

Един­ствен­ное ре­ше­ние 

Если  то  и  Си­сте­ма при­ни­ма­ет вид:

При этом зна­че­нии  си­сте­ма имеет бес­ко­неч­но много ре­ше­ний.

а) Да, мог. Например, если первый с третьим сыграли 21 игру, второй с третьим - 13 игр, а первый со вторым - 4 игры.

б) Нет, не мог. Действительно, в таком случае общее число сыгранных партий было бы равно (25 + 17 + 35)/2 = 38,5 игр — не целое число.

в) Нет, не мог. Пусть такое возможно, тогда третий игрок сыграл больше партий, чем первый и второй вместе взятые (25 + 17 < 56). Но других соперников у третьего не могло быть, поэтому получаем противоречие.