Из графика видно, что от 2 до 8 мм осадков выпадало три дня: 7, 8 и 9 февраля (см. рисунок). Подробнее: 04.02 выпало 1,5 мм осадков, 05.02 — 0 мм, 06.02 — 1 мм, 07.02 — 7 мм, 08.02 — 6мм, 09.02 — 2 мм, 10.02 — 9 мм.

Ответ: 3.

Площади кругов относятся как квадраты их радиусов. Поскольку радиус большего круга равен четырем третьим радиуса меньшего круга, площадь большего круга составляет шестнадцать девятых площади меньшего. Следовательно, она равна 16. Площадь заштрихованной фигуры равна разности площадей кругов: 16 − 9 = 7.

Ответ: 7.

На каждой из четырех отмеченных развилок паук с вероятностью 0,5 может выбрать или путь, ведущий к выходу D, или другой путь. Это независимые события, вероятность их произведения (паук дойдет до выхода D) равна произведению вероятностей этих событий. Поэтому вероятность прийти к выходу D равна (0,5)⁴ = 0,0625.

Ответ: 0,0625.

Заметим, что числители дробей равны. Имеем:

Ответ: 1.

Рассмотрим треугольник AOB. Он равносторонний, так как AO = OB = AB = R. Поэтому угол AOB = 60. Вписанный угол ACB равен половине дуги, на которую он опирается. Тем самым, он равен 30°.

Ответ: 30.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.

Ответ:4.

При одинаковой площади основания большим объемом будет обладать та часть, высота которой больше, то есть нижняя. Объем данной пирамиды относится к объему исходной как 2/3, поэтому равен 10.

Ответ: 10.

Выполним преобразования:

Ответ: −12.

Задача сводится к решению неравенства  при известном значении внутреннего сопротивления  Ом:

 Ом.

Ответ: 4.

Пусть концентрация первого раствора кислоты – , а концентрация второго –  Если смешать эти растворы кислоты, то получится раствор, содержащий 68% кислоты:  Если же смешать равные массы этих растворов, то получится раствор, содержащий 70% кислоты:  Решим полученную систему уравнений:

Поэтому 

Ответ: 18.

Выделим полный квадрат:

Отсюда имеем:

Поэтому наибольшее значние функции достигается в точке −2, и оно равно 3.

Ответ: 3.

Произведение двух выражений равно нулю, если хотя бы одно из них равно нулю, а другое при этом не теряет смысла:

Поскольку , то  Поэтому 

Ответ: 

Построим сечение призмы плоскостью γ. а) Проведём КР || АС, , CP = 1. Проведём PL, проведём LR || AC,  Проведём RK. Трапеция LPLR — искомое сечение. Сечение параллельно АС по признаку параллельности прямой к плоскости.

Введём систему координат, как показано на рисунке. В этой системе координат: В(0; 0; 0), С(0; 6; 0), В'(0; 0; 3), C'(0; 6; 3),   P(0; 5; 0),   

Тогда

Откуда получаем:

Так как  и  получаем, что  Что и требовалось доказать.

б) Далее заметим, что плоскость сечения перпендикулярна вектору , найдем уравнение плоскости и вычислим расстояние от точки до плоскости:

Найдём свободный член D в уравнении плоскости  подставив координаты точки К:

Упростив уравнение плоскости, получим: 

Тогда для искомого расстояния получаем:

Определим область допустимых значений:

Заметим, что на ОДЗ знаки  и  совпадают, решим неравенство:

откуда 

С учётом ОДЗ получаем ответ: 

Ответ: (1; 2].

а) Углы APC и AQC — прямые, значит, точки A, Q, P и C лежат на одной окружности с диаметром AC, и, следовательно, равны и вписанные углы PAC и PQC этой окружности, опирающиеся на дугу PC, что и требовалось доказать.

б) Прямоугольные треугольники ABP и CBQ имеют общий угол ABC, следовательно, они подобны, откуда  или  но тогда и треугольники BAC и BPQ также подобны, причем коэффициент подобия равен  откуда  Тогда радиус R окружности, описанной около треугольника ABC равен 

Ответ: 

Пусть в регионе В проживало n человек.

Составим таблицу изменения среднемесячного дохода на душу населения по данным задачи.

	2014	2015	2016	2017
Регион А
Среднемесячный доход на душу населения	43740	43740 · 1,25	43740 · 1,252	43740 · 1,253
Регион В
Суммарный доход жителей	60 000 n	60 000 n · 1,17	60 000 n · 1,172	60 000 n · 1,173
Число жителей	n
Среднемесячный доход на душу населения	60 000

По условию  откуда

Следовательно,  откуда  Тем самым, население региона B росло на 4% в год.

Произведём замену переменной  получим:

Пусть теперь

При t ≥ 0 функция g(t) убывает, принимая все значения от  до  При t < 0 функция g(t) − возрастает, принимая все значения от  до  Значит, 

Функция f(t) принимает минимальное значение при  причём на промежутке (0; +∞) — функция возрастает, принимая все значения от  до , а на промежутке (−∞; 0) — убывает (функция чётная), принимая все значения от  до 

Поскольку наибольшее значение функции  и наименьшее значение функции  достигается при одном и том же значении , уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда  то есть

1) При a ≥ 0 получаем

2) При a < 0 получаем

Ответ: 

а) Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 11 или больше. Тогда девочек было 9 или меньше. Театр посетило не более 4 мальчиков, поскольку если бы их было 5 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше , что больше  Аналогично, кино посетило не более 6 мальчиков, поскольку  но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 10.

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе  мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и  девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

Из условия:

значит,  Тогда , поэтому доля девочек в группе:

Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна 

Ответ: а) да: б) 10; в)