Из девятисот грамм риса можно приготовить  порций каши.

Из трех литров молока можно приготовить  порций каши.

Следовательно, продуктов достаточно только на 22 порции каши.

Ответ: 22.

Из графика видно, что наибольшая температура воздуха 22 января составляла −10 °C (см. рисунок).

Ответ: −10.

Радиус окружности, описанной около прямоугольника, равен половине его диагонали. Диагональ равна 5, поэтому радиус равен 2,5.

Ответ: 2,5.

Анализ пациента может быть положительным по двум причинам: А) пациент болеет гепатитом, его анализ верен; B) пациент не болеет гепатитом, его анализ ложен. Это несовместные события, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий. Имеем:

Ответ: 0,0545.

Последовательно получаем:

Ответ: −124.

Для на­хож­де­ния пло­ща­ди тре­уголь­ни­ка ABC, вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой Ге­ро­на:

Далее по фор­му­ле 

Ответ: 25.

Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. Если сторону клетки принять за единицу, то функция убывает на интервалах (−4,4; −0,7) и (2,6; +∞). В них содержатся точки x₄, x₅, x₉. Их 3 штуки.

Ответ: 3.

Объем призмы равен произведению площади ее основания на высоту и выражается через сторону основания а и высоту Н формулой  Поэтому , а значит, при увеличении стороны а в 4 раза знаменатель увеличится в 16 раз, то есть высота уменьшится в 16 раз и будет равна 5 см.

Ответ: 5.

Вы­пол­ним пре­об­ра­зо­ва­ния:

Угол  лежит во вто­рой чет­вер­ти, по­это­му  Тогда

Ответ: 0,6.

Задача сводится к решению уравнений  и  при заданном значении R:

Следовательно, чтобы видеть горизонт на более далеком расстоянии, наблюдателю нужно подняться на  метра. Для этого ему необходимо подняться на  ступенек.

Ответ: 7.

Обозначим  и  — объёмы работ, которые выполняют за день первый и второй рабочий, соответственно, полный объём работ примем за 1. Тогда по условию задачи  и  Решим полученную систему:

Тем самым, первый рабочий за день выполняет одну двадцатую всей работы, значит, работая отдельно, он справится с ней за 20 дней.

Ответ: 20.

а) Решим уравнение:

б) Поскольку , отрезку  принадлежит только число 2.

Ответ: а); б) 2.

а) Треугольник ABC подобен треугольнику MBN по двум пропорциональным сторонам и углу между ними. Тогда углы BAC и BMN равны, и AC || MN. Далее, PQ || AC поскольку является средней линией треугольника ADC. Значит, MN || PQ и поэтому P, Q, M и N лежат в одной плоскости.

б) Пусть объём ABCD равен V. Пятигранник APMCQN состоит из четырёхугольной пирамиды PACNM с основанием ACNM и треугольной пирамиды PQCN с основанием QCN. Выразим их объемы через V.

Расстояние от P до (BCD) вдвое меньше расстояния от A до (BCD), а площади треугольников QCN и BCD относятся как 1 : 6. Значит, 

Площадь треугольника MBN составляет  площади ABC. Значит,  Расстояние от точки P до (ABC) вдвое меньше расстояния от D до (ABC), поэтому 

Таким образом,  то есть 

Ответ: 13 : 23.

За­ме­тим, что  и  Для таких зна­че­ний пе­ре­мен­ной чис­ли­тель и зна­ме­на­тель ар­гу­мен­та ло­га­риф­ма по­ло­жи­тель­ны, по­это­му, учи­ты­вая ра­вен­ство  имеем:

Решим по­лу­чен­ное не­ра­вен­ство, при­ме­няя метод ра­ци­о­на­ли­за­ции:

Ответ: 

а) Про­ве­дем через точку  пря­мую па­рал­лель­ную . На пе­ре­се­че­нии этой пря­мой и пря­мой  от­ме­тим точку ,  — па­рал­ле­ло­грамм.

В тре­уголь­ни­ке ACC₁:   

За­ме­тим, что  по­сколь­ку , тогда по тео­ре­ме, об­рат­ной тео­ре­ме Пи­фа­го­ра, тре­уголь­ник ACC₁ — пря­мо­уголь­ный, угол ACC₁ пря­мой. Тогда угол COD пря­мой, что и тре­бо­ва­лось до­ка­зать.

б) 

Ответ: б) 60.

Пусть акции проданы в конце года t за t² тыс. руб., и полученная сумма положена в банк на оставшиеся 20 − t лет под 25% годовых. Тогда цена акций на конец срока составит  тыс. руб. Найдём наибольшее значение полученной функции на множестве натуральных t, не превосходящих 20. Имеем:

Найденная производная обращается в нуль в точке  и меняет в ней знак с плюса на минус. Следовательно, это точка максимума. Заметим, что

Из полученной оценки следует, что точка максимума лежит на интервале (8; 10). Сравним значения функции в точках 8, 9 и 10. Поскольку

наибольшее значением функции на множестве натуральных аргументов достигается в точке 9. Продавать акции необходимо в конце девятого года.

Ответ: в конце девятого года.

На координатной плоскости хОу множество точек , удовлетворяющих любому из уравнений системы — прямые. А тогда решением системы будут точки пересечения этих прямых. Поэтому исходная система будет иметь бесконечное множество решений в том и только в том случае, когда эти прямые совпадают. Заметим при этом, что вне зависимости от значений параметров первое уравнение системы задаёт не горизонтальную прямую (коэффициент перед  не равен нулю), а второе − не вертикальную (коэффициент перед  не равен нулю), значит, оба уравнения в системе можно привести к виду . В общем случае две прямые, заданные уравнениями  и  совпадают, если,  и  (при  они имеют одну точку пересечения, при  и  точек пересечения у них нет). Следовательно, система будет иметь бесконечно много решений в том случае, когда совместна система

где  и 

Решая систему, получаем  или 

Ответ: , 

а) Нет. Итоговый балл по старой системе не больше  а итоговый балл по новой системе не меньше  Поэтому разность итоговых баллов не может быть больше 6.

б) Нет. Упорядочим оценки судей: пусть  Тогда разность итоговых баллов равна

При умножении разности на 12 должно получаться целое число, но число  нецелое.

в) Покажем, что числитель дроби (*) не меньше 12. Действительно, уменьшаемое  а вычитаемое  Следовательно, разность итоговых баллов не меньше 1. Значение 1 достигается, например, при оценках 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 1.