Заметим, что  поэтому Лизе хватит денег на 43 полных дня. Вечером сорок третьего дня после снятия 16 рублей на счету будет меньше 16 рублей и утром 44 дня номер заблокируют.

Ответ: 43.

Из графика видно, что сила натяжения достигает 150 кгс при угле наклона 45 градусов.

Ответ: 45.

Изображенная на рисунке окружность вписана в квадрат со стороной 5, поэтому радиус этой окружности равен 2,5. Но причём тут вписанный треугольник?

Ответ: 2,5.

Пусть первой за стол сядет девочка, рядом с ней есть два места, на каждое из которых может сесть 8 человек, из которых только одна девочка. Таким образом вероятность, что девочки будут сидеть рядом равна 

Ответ: 0,25.

Для данного вопроса нет пояснения

Окружность, описанная вокруг трапеции, описана и вокруг треугольника  Это треугольник равнобедренный, угол при вершине равен 120°, углы при основании равны 30°. Найдем его боковую сторону:

откуда  Тогда по теореме синусов:

Ответ: 6.

Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].

Тем самым, функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках [−5; −3] и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].

Из этого следует, что f принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума х_min = 3. В силу возрастания f на отрезке [3; 5] справедливо неравенство f (5) > f (3). Поскольку по условию f (−5) не меньше, чем f (5), справедлива оценка f (−5) > f (3).

Тем самым, наименьшего значения функция f достигает в точке 3. График одной из функций, удовлетовряющих условию, приведён на рисунке.

Ответ:3.

Высота и рёбра такого параллелепипеда равны диаметру сферы, поэтому это куб с ребром 2. Площадь его поверхности равна 6 · 4 = 24.

Ответ: 24.

Выполним преобразования:

Ответ: 2.

Задача сводится к решению уравнений  и  при заданном значении R:

Следовательно, чтобы видеть горизонт на более далеком расстоянии, наблюдателю нужно подняться на  метра.

Ответ: 1,4.

Каждый год прибыль компании «Альфа» составляла 200% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 300% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Альфа» была сумма

Каждый год прибыль компании «Бета» составила 400% от капитала предыдущего года, значит, капитал каждый год составлял 500% от капитала предыдущего года. В конце 2006 года на счёте компании «Бета» была сумма

Таким образом, капитал компании «Бета» был на 35 000 долларов больше.

Ответ: 35 000.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:

Про­из­вод­ная об­ра­ща­ет­ся в нуль в точ­ках и , за­дан­но­му от­рез­ку при­над­ле­жит число Опре­де­лим знаки про­из­вод­ной функ­ции и изоб­ра­зим на ри­сун­ке по­ве­де­ние функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке:

В точке −6 функ­ция имеет мак­си­мум, яв­ля­ю­щий­ся ее наи­боль­шим зна­че­ни­ем на за­дан­ном от­рез­ке. Най­дем это наи­боль­шее зна­че­ние:

Ответ: 8.

а) Заметим, что:  Далее имеем:

б) Решая двойное неравенство  для каждой из полученных серий корней находим, что заданному промежутку принадлежат числа  и только они.

Ответ: а)  б) 

а) Рас­смот­рим се­че­ние приз­мы плос­ко­стью ABC₁D₁. Точка Е лежит в этой плос­ко­сти вме­сте с пря­мой BD₁. Сле­до­ва­тель­но, пря­мые  и  также лежат в этой плос­ко­сти и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке  Ана­ло­гич­но,  и  лежат в се­че­нии BCA₁D₁ и пе­ре­се­ка­ют­ся в точке  Тра­пе­ция  — ис­ко­мое се­че­ние.

б)  а  По­это­му  Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков D₁C₁E и BME на­хо­дим, что  от­ку­да BM = MA = 1. Ана­ло­гич­но, BN=1, тре­уголь­ник BMN — рав­но­бед­рен­ный. Опу­стим пер­пен­ди­ку­ляр  на пря­мую  По тео­ре­ме о трёх пер­пен­ди­ку­ля­рах  и, зна­чит,  — ис­ко­мый угол.

Из тре­уголь­ни­ка AHM, по­доб­но­го BMN, на­хо­дим, что  Тогда 

Ответ: б) 

Перепишем неравенство в виде:

Множество решений исходного неравенства: 

Ответ: 

а) Пусть O — отличная от A₁ точка пересечения окружностей, описанных около треугольников A₁CB₁ и A₁BC₁ (рис. 1).

Тогда

откуда 

Значит,  следовательно, точки A, B₁, O и C₁ лежат на одной окружности.

б) Пусть O₁, O₂ и O₃ — центры окружностей, описанных около треугольников B₁AC₁, A₁BC₁ и A₁CB₁ соответственно (рис. 2). Заметим, что  как радиусы описанных окружностей около равных треугольников. Значит, треугольники AO₁C₁ и C₁O₂B равны. Кроме того, треугольник O₂C₁O₁ также равен этим треугольникам, поскольку

 

Таким образом,  Аналогично,   поэтому треугольник O₁O₂O₃ подобен треугольнику ABC с коэффициентом  и радиус вписанной в него окружности равен половине радиуса окружности, вписанной в треугольник ABC.

Пусть M — середина BC, а радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен r (рис. 3). Тогда площадь треугольника ABC

C другой стороны, высота равнобедренного треугольника ABC равна  поэтому  Значит, r = 3. Искомый радиус равен 

Ответ: 1,5.

Долг на конец месяца:

Долг с учетом процентов:

Выплаты за первые 12 месяцев:

Их сумма равна:

Ответ: 1 866 000 рублей.

Чтобы наибольшее значение данной функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы она в какой-то точке приняла значение 1. В самом деле,  Если наибольшее значение ее не меньше единицы, то по непрерывности в какой-то точке будет значение единица. Если же наибольшее значение меньше единицы, то значение единица приниматься не может. Итак, задача свелась к такой — при каких a есть корни у уравнения  Поскольку  это уравнение равносильно совокупности

Эта совокупность имеет решения если  или если  то есть при  или 

Ответ: 

а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске.

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в) Число 7 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части  , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10 = 16. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа — это 8 и 8 или 16. Для задуманных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2, 2; б) нет; в) 7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.