Больному нужно выпить 0,5 · 3 · 21 = 31,5 г лекарства. В одной упаковке содержится 0,5 · 10 = 5 г лекарства. Разделим 31,5 на 5:

 

Значит, на курс лечения шести упаковок не хватит, требуется 7 упаковок.

Ответ: 7.

Из диа­грам­мы видно, что наи­боль­шая сред­не­ме­сяч­ная тем­пе­ра­ту­ра во вто­рой по­ло­ви­не года (то есть с 7 по 12 месяц) со­став­ля­ла 16 °C (см. ри­су­нок).

Ответ: 16.

Угол ABC опирается на четверть окружности, то есть на дугу 90°. Вписанный угол равен половине дуги, поэтому он равен 45°.

Ответ: 45.

Джон промахнется, если схватит пристрелянный револьвер и промахнется из него, или если схватит непристрелянный револьвер и промахнется из него. По формуле условной вероятности, вероятности этих событий равны соответственно 0,4·(1 − 0,9) = 0,04 и 0,6·(1 − 0,2) = 0,48. Эти события несовместны, вероятность их суммы равна сумме вероятностей этих событий: 0,04 + 0,48 = 0,52.

Последовательно получаем:

Ответ: −4.

Радиус вписанной в многоугольник окружности равен отношению его площади к полупериметру. Пусть площадь равна S, полупериметр равен p, радиус окружности равен R. Тогда

Ответ: 30.

Прямая  является касательной к графику функции  в точке  тогда и только тогда, когда одновременно  и  В нашем случае имеем:

Искомое значение а равно 0,125.

Ответ: 0,125.

Объемы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия, поэтому один из кубов в 2 раза больше другого. Площади поверхностей подобных тел относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому их отношение равно 4.

Ответ: 4.

Выполним преобразования:

Ответ: −24.

Обо­зна­чим сов­па­да­ю­щую оцен­ку по раз­ным по­ка­за­те­лям  По­сколь­ку все по­ка­за­те­ли равны друг другу, все они равны  Под­ста­вим зна­че­ния в фор­му­лу, учи­ты­вая, что рей­тинг равен :

Ответ:10.

Пусть бригада в первый день покрасила  метров забора, во второй — , … , в последний —  метров забора. Тогда  м, а за  дней было покрашено

 метров забора.

Поскольку всего было покрашено 240 метров забора, имеем:  Таким образом, бригада красила забор в течение 8 дней.

Ответ: 8.

Най­дем про­из­вод­ную за­дан­ной функ­ции:  Урав­не­ние  не имеет ре­ше­ний, про­из­вод­ная по­ло­жи­тель­на при всех зна­че­ни­ях пе­ре­мен­ной, по­это­му за­дан­ная функ­ция яв­ля­ет­ся воз­рас­та­ю­щей. Сле­до­ва­тель­но, наи­боль­шим зна­че­ни­ем функ­ции на за­дан­ном от­рез­ке яв­ля­ет­ся

Ответ: 5.

а) Преобразуем исходное уравнение: 

Пусть  тогда уравнение запишется в виде  откуда  или 

При  получим:  откуда 

При  получим:  откуда 

б) Корень  не принадлежит промежутку  Поскольку  и  корень  принадлежит промежутку 

Ответ: а)  б) 

а) Проведём в прямоугольнике  отрезок KL параллельно AC. Заметим, что плоскость KBL параллельна прямой AC по признаку параллельности прямой и плоскости. Поэтому KBL — плоскость сечения. Плоскость сечения пересекает параллельные грани призмы по параллельным отрезкам. Проведём отрезок LM параллельно BK, проведем отрезок KM. Полученный четырёхугольник BLMK — искомое сечение. (См. Правила в конце пояснения.)

Из равенства АК = LC следует, что CL : LC₁ = 1 : 2. В силу параллельности прямых KB и ML получаем, что DM = 2LC, а тогда DM : MD₁ = 2 : 1. Это и требовалось доказать.

б) Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах прямые BM и AC перпендикулярны, а значит, прямые BM и KL перпендикулярны. Площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей. Найдем их:  как диагональ квадрата, лежащего в основании призмы,  по теореме Пифагора. Тогда

Ответ: б) .

Пусть  по­лу­ча­ем:

Воз­вра­ща­ясь к ис­ход­ной пе­ре­мен­ной, по­лу­ча­ем:  или 

Ответ: 

а) Обозначим центры окружностей O₁ и O₂ соответственно. Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых из одной точки, AM = KM и KM = BM. Таким образом,

в треугольнике AKB медиана равна половине стороны, к которой она проведена, значит, он прямоугольный.

Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично получаем, что BC ⊥ AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны.

б) В прямоугольной трапеции ABO₂O₁ построим высоту O₂H и найдём ее из прямоугольного треугольника O₂HO₁:

Тогда  Из прямоугольного треугольника BAD получаем: 

Треугольники BKC и AKD подобны,  поэтому  а 

Из прямоугольного треугольника СКВ находим  тогда 

Из прямоугольного треугольника СКD находим 

По теореме синусов для треугольника BСD находим искомый радиус описанной окружности:

Ответ: 

Если первый платеж банку Аркадия составил x рублей, то второй составит 2x рублей, а третий — 3x рублей, всего 6x рублей, что равно 2 395 800, то есть x = 2 395 800 : 6 = 399 300. Отсюда: 2x = 798 600, 3x = 1 197 900.

Пусть в банке Аркадий взял в кредит S рублей.

Тогда его долг 01.03.2011 составил 1,1S рублей. После первого перечисления Аркадия долг снизился до (1,1S − 399 300) руб.

01.03.2012 банк начислил проценты на долг Аркадия. Долг Аркадия стал (1,1S − 399 300) · 1,1 = 1,21S − 439 230 (руб.)

Аркадий перевел в банк 798 600 руб. Долг снизился до 1,21S − 439230 − 798600 = 1,21S − 1237830 (руб.)

01.03.2013 банк начислил проценты на оставшийся долг Аркадия. Долг Аркадия стал (1,21S − 1237830) · 1,1 = 1,331S − 1 361 613 (руб.)

Аркадий перевел в банк 1 197 900 руб. Кредит погашен полностью, долга у Аркадия нет.

Значит, 1,331S − 1 361 613 − 1 197 900 = 0 ⇔ 1,331S = 2 559 513 ⇔ S = 1 923 000.

Ответ: 1 923 000 рублей.

За­ме­ним пер­вое урав­не­ние раз­но­стью, а вто­рое — сум­мой ис­ход­ных урав­не­ний:

При  вто­рое урав­не­ние си­сте­мы, а, зна­чит, и вся си­сте­ма ре­ше­ний не имеет. При  по­лу­ча­ем:

Ясно (см. ри­су­нок), что при  си­сте­ма имеет че­ты­ре ре­ше­ния (ко­ор­ди­на­ты точек A, B, C и D), а при  — два ре­ше­ния (ко­ор­ди­на­ты точек M и N).

Ответ: 

Пусть ис­ход­ные числа равны    и пусть суммы цифр, сто­я­щих в раз­ря­де еди­ниц и де­сят­ков, со­от­вет­ствен­но  и 

а) Решим си­сте­му урав­не­ний:

При­ме­ром ис­ход­но­го на­бо­ра чисел может быть 70 дву­знач­ных чисел, за­кан­чи­ва­ю­щих­ся еди­ни­цей, сумма де­сят­ков ко­то­рых дает 290. На­при­мер, это 68 чисел 41 и два числа 91 или 50 чисел 51 и 20 чисел 21. Ещё при­мер (его можно по­стро­ить, об­ра­тив вни­ма­ние, что сумма де­сят­ков при­мер­но в 4 раза боль­ше суммы еди­ниц): 32 раза число 92 и число 26.

б) Решим си­сте­му урав­не­ний:

По­сколь­ку нулей в за­пи­си чисел нет, сумма цифр, сто­я­щих в раз­ря­де еди­ниц, не мень­ше ко­ли­че­ства чисел. Тем самым, чисел не боль­ше 30. Но тогда сумма цифр, сто­я­щих в раз­ря­де де­сят­ков, не может быть боль­ше 270. Про­ти­во­ре­чие.

Иначе: по­сколь­ку в за­пи­си нет нулей, а цифры в раз­ря­де де­сят­ков не пре­вы­ша­ют 9, спра­вед­ли­вы со­от­но­ше­ния:  то есть  что про­ти­во­ре­чит по­лу­чен­ной си­сте­ме, в ко­то­рой 

в) Тре­бу­ет­ся опре­де­лить, для ка­ко­го наи­мень­ше­го S имеет ре­ше­ния си­сте­ма урав­не­ний

Из по­лу­чен­ной си­сте­мы сле­ду­ет, что ве­ли­чи­на S крат­на 9 и 11 то есть крат­на 99. Тогда  Тогда

Наи­мень­ше­му зна­че­нию  со­от­вет­ству­ет наи­мень­шее зна­че­ние  при­чем из вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы ясно, что  Улуч­шим оцен­ку: за­ме­тим, что  от­ку­да  тогда

и, тем самым, 

Если  то:   за­дан­ным на­бо­ром чисел, на­при­мер, яв­ля­ют­ся 30 чисел 91, 9 чисел 21 и число 51, сумма чисел в на­бо­ре равна 

Ответ: а) на­при­мер, 32 раза число 92 и число 26, б) нет, в) 693.