Информатика (Вариант 5)
Два игрока, Паша и Вася, играют в следующую игру. Перед игроками лежит куча камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Паша. За один ход игрок может добавить в кучу один или четыре камня или увеличить количество камней в куче в пять раз. Игра завершается в тот момент, когда количество камней в куче становится не менее 69. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, то есть первым получивший кучу, в которой будет 69 или больше камней. В начальный момент в куче было S камней, 1 ≤ S ≤ 68.
Задание 1. а) Укажите все такие значения числа S, при которых Паша может выиграть в один ход. Обоснуйте, что найдены все нужные значения S, и укажите выигрывающий ход для каждого указанного значения S. б)Укажите такое значение S, при котором Паша не может выиграть за один ход, но при любом ходе Паши Вася может выиграть своим первым ходом. Опишите выигрышную стратегию Васи.
Задание 2. Укажите 2 таких значения S, при которых у Паши есть выигрышная стратегия, причём Паша не может выиграть за один ход и может выиграть своим вторым ходом независимо от того, как будет ходить Вася. Для каждого указанного значения S опишите выигрышную стратегию Паши.
Задание 3. Укажите хотя бы одно значение S, при котором у Васи есть выигрышная стратегия, позволяющая ему выиграть первым или вторым ходом при любой игре Паши, и у Васи нет стратегии, которая позволит ему гарантированно выиграть первым ходом. Для указанного значения S опишите выигрышную стратегию Васи. Постройте дерево всех партий, возможных при этой выигрышной стратегии Васи (в виде рисунка или таблицы).
Ответ
Задание 1.
а) ≥14. При количестве камней в куче от 14 и больше Паше необходимо увеличить количество камней в пять раз, тем самым получив 70 или более камней.
б) 13. Паша своим первым ходом может сделать 14, 17 или 65 камней, после этого Вася увеличивает количество камней в пять раз, получая 70, 85 или 325 камней в куче.
Задание 2.
9, 12. Для данных случаев Паше необходимо прибавить 4 камня к куче из 9 камней, либо 1 камень к куче из 12 камней, и получить кучу из 13 камней. После чего игра сводится к стратегии, описанной в пункте 1б.
Задание 3.
8. Своим первым ходом Паша может сделать количество камней в куче 9, 12 или 40. Если Паша делает ход «увеличить в пять раз», тогда Вася выигрывает своим первым ходом, увеличивая количество камней в пять раз.
Для случая 9 и 12 камней Вася использует стратегию, указанную в п.2.
Данную стратегию можно представить в виде таблицы.
ИЛИ
11. Своим первым ходом Паша может сделать 12, 15 или 55 камней. Если количество камней в куче 15 или 55 Васе необходимо увеличить количество камней в 5 раз. Для случая 12 камней Вася использует стратегию, указанную в п.2. Представим стратегию в виде табли