Математика (Вариант 8)
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 54°, 62° и 64°.
Ответ
Введём обозначения как показано на рисунке (∠MKP = 54°, ∠KPM = 62°, ∠PMK = 64°). Отрезки касательных, проведённые из одной точки равны, поэтому 
Следовательно, треугольники 
— равнобедренные, поэтому в каждом треугольнике углы при основании равны. Угол 
— вписанный, поэтому он равен половине дуги, на которую опирается. Угол 
образован хордой и касательной, следовательно, он равен половине величины дуги, которую заключает. Значит, 
Сумма углов треугольника равна 180°. Найдём угол 
Аналогично, из треугольников 
и 
получаем, 
