Математика (Вариант 10)
Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 3 и 4, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.
Ответ
Пусть 
— данный четырёхугольник, 
— середина стороны 
— середина стороны 
— середина стороны 
— середина стороны 
. Проведём диагонали 
и 
и отрезки 
и 
, последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки 
и 
параллельны диагонали и равны её половине, а отрезки 
и параллельны диагонали и равны её половине. Поэтому 
параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали 
и 
равны, то 
— прямоугольник, и угол 
— прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями и тоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника будет равна половине произведения его диагоналей, то есть 
.