Чтобы число де­ли­лось на 25, оно долж­но за­кан­чи­вать­ся на 00, 25, 50 или 75. Наше число на 00 за­кан­чи­вать­ся не может, по­сколь­ку все его цифры долж­ны быть раз­лич­ны. Вы­пи­шем все трёхзнач­ные числа, за­кан­чи­ва­ю­щи­е­ся на 25, 50 или 75, все цифры ко­то­рых раз­лич­ны, найдём сумму квад­ра­тов их цифр, про­ве­рим, де­лит­ся ли она на 3 и на 9.

, сумма цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр де­лит­ся на 3 и на 9.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр де­лит­ся на 3 и на 9.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр де­лит­ся на 3, но не де­лит­ся на 9. Это ис­ко­мое число.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

, сумма цифр не де­лит­ся на 3.

Таким об­ра­зом, усло­вию удо­вле­тво­ря­ет любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.

Ответ: любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.

По модулю 6 и 11 число имеет одинаковые остатки, следовательно, число имеет тот же остаток при делении на 66, причём этот остаток не равен нулю и меньше шести. Таким образом, искомое число может иметь вид:

При  получаем: 67, 68, 69, 70, 71. Все эти числа не являются трёхзначными.

При  получаем: 133, 134, 135, 136, 137. Число 135 удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: 135.

Пусть число имеет вид , если , то сумма цифр в новом числе будет на 1 больше, чем в исходном, и обе они не могут делиться на 8. Значит, . Рассмотрим теперь 2 случая:

1)  Число перейдёт в , сумма изменится на 8.

2)  Число перейдёт в , сумма изменится на 18.

Итак, условиям задачи удовлетворяют числа вида , где  кратно . Одним из таких чисел является 349.

Ответ: 349, 789, 619, 969, 529.

Чтобы число abcd делилось на 22, оно должно делиться и на 2, и на 11. Произведение цифр 24 можно представить многими способами, основой которых являются произведения - . Признак делимости на 11: Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11. Таким образом, a+c=b+d или a+c=b+d+11 или a+c+11=b+d. Кроме того, раз число делится на 2, то оно должно быть четным. Согласно перечисленным признакам можно подобрать следующие числа: 4312, 2134, 1342, 3124

Если хотя бы одна цифра в записи числа — нуль, то произведение цифр равно 0, а тогда их сумма равна 1. Единственное такое четырёхзначное число — 1000, но оно не кратно 19. Поэтому нулей среди цифр нет. Отсюда следует, что все цифры не меньше 1, и их сумма не меньше четырёх, а значит, произведение цифр не меньше трёх. Чтобы произведение было не меньше трёх хотя бы одна из цифр должна быть больше 1. Рассмотрим такие числа в порядке возрастания суммы их цифр.

Если сумма цифр равна 5, то число записывается одной двойкой и тремя единицами (это числа 1112, 1121, 1211, 2111). Произведение цифр равно 2, поэтому они не удовлетворяют условию.

Если сумма цифр равна 6, то число записывается одной тройкой и тремя единицами или двумя двойками и двумя единицами (это числа 1113, 1131, 1311, 3111, 1122, 1212, ...). Произведение цифр равно 3 или 4 соответственно, поэтому такие числа не удовлетворяют условию.

Если сумма цифр равна 7, то произведение должно быть равно 6. Это выполнено для чисел, записываемых тройкой, двойкой и двумя единицами. Поскольку число 3211 кратно 19, оно и является искомым.

Ответ: 3211.

Пусть наше число имеет вид . Тогда имеем  И так как число делится на 4,  делится на 4. Можно заметить, что если среди цифр есть хотя бы три единицы, то равенство невозможно, так как сумма будет больше произведения. То же самое, если единиц меньше, чем две. В этом случае произведение будет слишком большое. Таким образом, среди цифр есть ровно две единицы. Рассмотрим двузначные числа, которые делятся на 4, это концовка нашего числа. Нельзя брать числа с нулём, так как в этом случае произведение будет равно нулю.

12: тогда одна из оставшихся цифр 1, а другая — 4.

16: тогда одна из оставшихся цифр 1, а другая никакая не подойдёт.

24: значит, оставшиеся цифры — единицы.

Остальные числа будут давать слишком большое произведение или нечётную сумму.

Таким образом, исходные числа: 1412, 4112, 1124.

Ответ: 1124 или 1412, или 4112.

Пусть число  имеет вид  Если , то сумма цифр в новом числе будет на 6 больше, чем в исходном. Пусть  делится на 12, тогда  то есть число  не делится на 12. Аналогично, если число  делится на 12, то число  не делится на 12. Значит, . Рассмотрим три случая:

1)  Число  имеет вид: , сумма цифр числа  на 3 меньше суммы цифр числа 

2)  Число  имеет вид: , сумма цифр числа  на 12 меньше суммы цифр числа 

3)  Число  имеет вид: , сумма цифр числа  на 21 меньше суммы цифр числа 

Ясно, что условиям задачи удовлетворяют числа, рассмотренные в пункте 2). Подберём число  так, чтобы сумма его цифр делилась на 12. Наименьшее возможное  удовлетворяющее условиям задачи, — 699.

Ответ: 699.

Условие «любые две соседние цифры отличаются на 1» означает, что каждые две соседние цифры должны отличаться на 1.

Разложим число 20 на слагаемые различными способами:

При разложении способами 1−4, 7 и 8 суммы квадратов чисел не кратны трём. При разложении пятым способом сумма квадратов кратна девяти. Разложение шестым способом удовлетворяет условиям задачи. Таким образом, условию задачи удовлетворяет любое число, записанное цифрами 5, 7 и 8, например, число 578.

Чтобы число делилось на 25, оно должно заканчиваться на 00, 25, 50 или 75. Наше число на 00 заканчиваться не может, поскольку все его цифры должны быть различны. Выпишем все трёхзначные числа, заканчивающиеся на 25, 50 или 75, все цифры которых различны, найдём сумму квадратов их цифр, проверим, делится ли она на 3 и на 9.

, сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр делится на 3 и на 9.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр делится на 3 и на 9.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр делится на 3, но не делится на 9. Это искомое число.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр не делится на 3.

, сумма цифр не делится на 3.

Таким образом, условию удовлетворяет любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.

Ответ: любое из чисел 125, 175, 275, 725, 825, 875.