Пусть ис­ход­ные числа равны    и пусть суммы цифр, сто­я­щих в раз­ря­де еди­ниц и де­сят­ков, со­от­вет­ствен­но  и 

а) Решим си­сте­му урав­не­ний:

При­ме­ром ис­ход­но­го на­бо­ра чисел может быть 70 дву­знач­ных чисел, за­кан­чи­ва­ю­щих­ся еди­ни­цей, сумма де­сят­ков ко­то­рых дает 290. На­при­мер, это 68 чисел 41 и два числа 91 или 50 чисел 51 и 20 чисел 21. Ещё при­мер (его можно по­стро­ить, об­ра­тив вни­ма­ние, что сумма де­сят­ков при­мер­но в 4 раза боль­ше суммы еди­ниц): 32 раза число 92 и число 26.

б) Решим си­сте­му урав­не­ний:

По­сколь­ку нулей в за­пи­си чисел нет, сумма цифр, сто­я­щих в раз­ря­де еди­ниц, не мень­ше ко­ли­че­ства чисел. Тем самым, чисел не боль­ше 30. Но тогда сумма цифр, сто­я­щих в раз­ря­де де­сят­ков, не может быть боль­ше 270. Про­ти­во­ре­чие.

Иначе: по­сколь­ку в за­пи­си нет нулей, а цифры в раз­ря­де де­сят­ков не пре­вы­ша­ют 9, спра­вед­ли­вы со­от­но­ше­ния:  то есть  что про­ти­во­ре­чит по­лу­чен­ной си­сте­ме, в ко­то­рой 

в) Тре­бу­ет­ся опре­де­лить, для ка­ко­го наи­мень­ше­го S имеет ре­ше­ния си­сте­ма урав­не­ний

Из по­лу­чен­ной си­сте­мы сле­ду­ет, что ве­ли­чи­на S крат­на 9 и 11 то есть крат­на 99. Тогда  Тогда

Наи­мень­ше­му зна­че­нию  со­от­вет­ству­ет наи­мень­шее зна­че­ние  при­чем из вто­ро­го урав­не­ния си­сте­мы ясно, что  Улуч­шим оцен­ку: за­ме­тим, что  от­ку­да  тогда

и, тем самым, 

Если  то:   за­дан­ным на­бо­ром чисел, на­при­мер, яв­ля­ют­ся 30 чисел 91, 9 чисел 21 и число 51, сумма чисел в на­бо­ре равна 

Ответ: а) на­при­мер, 32 раза число 92 и число 26, б) нет, в) 693.

а) Задуманные числа 2, 2, 2, 2, 2 дают требуемый набор, записанный на доске.

б) Поскольку задуманные числа натуральные, то наименьшее число в наборе — это наименьшее из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Среди чисел записанного набора должна быть сумма всех чисел, кроме наименьшего, то есть 22 − 1 = 21. Но этого числа нет в наборе, поэтому не существует примера таких задуманных чисел, для которого на доске будет выписан набор из условия.

в) Число 7 — наименьшее число в наборе — является наименьшим из задуманных чисел, а наибольшее число в наборе — это сумма всех задуманных чисел. Поэтому количество задуманных чисел не превосходит целой части  , то есть 5. Кроме того, числа 8 и 10 меньше, чем сумма двух чисел 7, поэтому они также являются задуманными. Значит, сумма оставшихся задуманных чисел равна 41 − 7 − 8 − 10 = 16. Таким образом, так как наименьшее задуманное число равно 7, оставшиеся задуманные числа — это 8 и 8 или 16. Для задуманных чисел 7, 8, 8, 8, 10 и 7, 8, 10, 16 на доске будет записан набор, данный в условии.

Ответ: а) 2, 2, 2, 2, 2; б) нет; в) 7, 8, 8, 8, 10 или 7, 8, 10, 16.

а) Нет. Итоговый балл по старой системе не больше  а итоговый балл по новой системе не меньше  Поэтому разность итоговых баллов не может быть больше 6.

б) Нет. Упорядочим оценки судей: пусть  Тогда разность итоговых баллов равна

При умножении разности на 12 должно получаться целое число, но число  нецелое.

в) Покажем, что числитель дроби (*) не меньше 12. Действительно, уменьшаемое  а вычитаемое  Следовательно, разность итоговых баллов не меньше 1. Значение 1 достигается, например, при оценках 0, 1, 2, 3, 4, 5.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 1.

а) Посмотрим на сумму нескольких зелёных чисел. Так как сумма будет минимальной тогда, когда числа минимальны, они должны составлять арифметическую прогрессию, с первым членом  и разностью  (то есть ряд 5, 10, 15 ... ). В случае, если на доске записано 30 зеленых чисел их сумма равна:

Теперь заменим зеленое число 40 на красное число 35. Сумма 29 оставшихся зелёных чисел и красного числа 35 будет равна

При этом на доске написаны только кратные 5 числа.

б) Как было показано в в пункте а) минимально возможная сумма 30 зеленых чисел — 2325. Чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных чисел, вычтем из суммы 30 чисел самое большое из написанных — 150: 

Теперь, чтобы получить минимально возможную сумму 29 зелёных и 1 красного чисел, прибавим наименьшее красное число, то есть 7: 

Минимально возможная сумма 29 зелёных и 1 красного чисел больше 1467, тогда любая сумма 29 зелёных и 1 красного чисел больше 1467. Значит, если на доске написано только одно красное число, сумма чисел не может быть равна 1467.

в) Пусть n - число красных чисел, тогда число зелёных составит (30-n). Как было показано выше, при одном, самом маленьком, красном числе сумма всех чисел больше, чем 1467. Это означает, что нам необходимо заменять зеленые числа на красные, причем, поскольку нам надо, чтобы красных чисел было минимальное число, то необходимо заменить минимальное возможное количество зеленых чисел, то есть наибольшие зеленые числа заменять на наименьшие красные. Тогда суммы красных  и зелёных  чисел, аналогично с предыдущими пунктами будут суммами арифметических прогрессий:

Сумма всех чисел  должна быть по крайней мере меньше или равна 1467, тогда:

Значит, необходимо заменить не менее 10 зеленых чисел. В ряду из 30 зелёных чисел заменим зеленые числа на красные: 150 на 7, 145 на 14, 140, на 21, 135 на 28, 130 на 35, 125 на 42, 120 на 49, 115 на 56, 110 на 63. Таким образом, сумма чисел, записанных на доске, составит:

Заменим теперь 80 на 77:

Таким образом, получается, что наименьшее количество красных чисел при сумме всех чисел 1467 равно 10.

Ответ:а) Да; б) Нет; в) 10.

а) При любой расстановке разность числа 11 и любого соседнего с ним числа меньше 11. Значит, всегда найдутся хотя бы две разности меньше 11.

б) Например, для расстановки 1, 12, 2, 13, 3, 14, 4, 15, 5, 16, 6, 17, 7, 18, 8, 19, 9, 20, 10, 21, 11 все разности не меньше 10.

в) Оценим значение k. Рассмотрим числа от 1 до 7. Если какие-то два из них стоят рядом или через одно, то найдется разность меньше 7. Иначе они стоят через два, поскольку всего чисел 21. В этом случае число 8 стоит рядом или через одно с каким-то числом от 2 до 7 и найдется разность меньше 7.

Таким образом, всегда найдется разность меньше 7. Все разности могут быть не меньше 6. Например, для расстановки 1, 8, 15, 2, 9, 16, 3, 10, 17, 4, 11, 18, 5, 12, 19, 6, 13, 20, 7, 14, 21 все разности не меньше 6.

Ответ: а) нет; б) да; в) 6.

а) Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 10 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено. Значит, в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков.

б) Предположим, что мальчиков было 11 или больше. Тогда девочек было 9 или меньше. Театр посетило не более 4 мальчиков, поскольку если бы их было 5 или больше, то доля мальчиков в театре была бы не меньше , что больше  Аналогично, кино посетило не более 6 мальчиков, поскольку  но тогда хотя бы один мальчик не посетил ни театра, ни кино, что противоречит условию.

В предыдущем пункте было показано, что в группе из 20 учащихся могло быть 10 мальчиков. Значит, наибольшее количество мальчиков в группе — 10.

в) Предположим, что некоторый мальчик сходил и в театр, и в кино. Если бы вместо него в группе присутствовало два мальчика, один из которых посетил только театр, а другой — только кино, то доля мальчиков и в театре, и в кино осталась бы прежней, а общая доля девочек стала бы меньше. Значит, для оценки наименьшей доли девочек в группе можно считать, что каждый мальчик сходил или только в театр, или только в кино.

Пусть в группе  мальчиков, посетивших театр, мальчиков, посетивших кино, и  девочек. Оценим долю девочек в этой группе. Будем считать, что все девочки ходили и в театр, и в кино, поскольку их доля в группе от этого не изменится, а доля в театре и в кино не уменьшится.

Из условия:

значит,  Тогда , поэтому доля девочек в группе:

Если группа состоит из 4 мальчиков, посетивших только театр, 6 мальчиков, посетивших только кино, и 9 девочек, сходивших и в театр, и в кино, то условие задачи выполнено, а доля девочек в группе равна 

Ответ: а) да: б) 10; в) 

а) Да, мог. Например, если первый с третьим сыграли 21 игру, второй с третьим - 13 игр, а первый со вторым - 4 игры.

б) Нет, не мог. Действительно, в таком случае общее число сыгранных партий было бы равно (25 + 17 + 35)/2 = 38,5 игр — не целое число.

в) Нет, не мог. Пусть такое возможно, тогда третий игрок сыграл больше партий, чем первый и второй вместе взятые (25 + 17 < 56). Но других соперников у третьего не могло быть, поэтому получаем противоречие.

а) Пусть в школе № 1 писали тест n учащихся, а средний балл был равен А. Тогда суммарный балл всех учащихся этой школы равнялся nA, а значит, после перехода одного учащегося в школу № 2, суммарный балл стал равен  Таким образом, суммарный балл уменьшился на  что невозможно, поскольку перешедший учащийся набрал положительное количество баллов, а 

б) Пусть в школе № 2 средний балл равнялся В, а перешедший в нее учащийся набрал u баллов. Тогда получаем:

или

Если  то поскольку число  должно делиться на 10, а  не должно быть отрицательным. Получаем  что невозможно, поскольку A целое.

в) Заметим, что если  то  или  В первом случае  а во втором  Значит, ни один из этих случае не возможен.

При  получаем  откуда   Этот случай реализуется, например, если в школе № 1 писали тест 2 учащихся и набрали 22 и 18 баллов, а в школе № 2 писали тест 49 учащихся и каждый набрал по три балла, а у перешедшего из одной школы в другую учащегося 18 баллов.

Ответ: а) нет; б) нет; в) 3.

а) Если числа равны 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 и 128, то никакие три из них не образуют хорошую тройку.

Другой пример — последовательность чисел Фибоначчи без первой единицы: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34.

б) Если одно из чисел является длиной гипотенузы для двух треугольников, какое-то из оставшихся трёх чисел является длиной катета для этих двух треугольников, а тогда треугольники окажутся равными по гипотенузе и катету. Значит, каждое число может быть длиной гипотенузы не более чем одного треугольника. При этом два самых маленьких числа не могут являться длиной гипотенузы треугольника. Значит, среди четырёх чисел можно найти не более двух отличных троек.

Другое рассуждение для п. б). Расположим числа в порядке возрастания:  и отметим, что гипотенузой могут быть только два больших числа. Запишем три равенства на гипотенузу треугольника:    и заметим, что из последних двух равенств следует равенство чисел  противоречащее условию.

в) Упорядочим числа по возрастанию. Самое большое из них может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках (в противном случае одно из оставшихся 11 чисел будет длиной катета в двух треугольниках с данной гипотенузой, а тогда эти треугольники будут равны по гипотенузе и катету). Аналогично, второе по величине число может быть длиной гипотенузы не более чем в пяти треугольниках, третье и четвёртое — в четырёх, пятое и шестое — в трёх. седьмое и восьмое — в двух, девятое и десятое — в одном. Итого. отличных троек может получиться не более 30. Тридцать отличных троек найдётся, например, для следующего набора чисел: 

Ответ: а) да; б) нет; в) 30.

а) Для чисел x = 17 и y = 10 выполняется условие 3x = 8y −29, q = 170, d = 1, 

б) и в) При x = 1 и y = 4 выполняется равенство 3x = 8y − 29 и  Покажем, что никакое значение  не реализуется.

Если x = y, то  что невозможно, поскольку числа x и y — натуральные. Пусть для определённости x < y и x = ad, a y = bd. Тогда натуральные числа a и b взаимно просты и a < b. Получаем  откуда 

Если  то a = b, что невозможно.

Если  то a = 1, b = 2 и, значит, y = 2x, откуда  что невозможно.

Если  то a = 1, b = 3 и, значит, y = 3x, откуда  что невозможно.

Ответ: а) да; б) нет) в) 4.