За­ме­ним пер­вое урав­не­ние раз­но­стью, а вто­рое — сум­мой ис­ход­ных урав­не­ний:

При  вто­рое урав­не­ние си­сте­мы, а, зна­чит, и вся си­сте­ма ре­ше­ний не имеет. При  по­лу­ча­ем:

Ясно (см. ри­су­нок), что при  си­сте­ма имеет че­ты­ре ре­ше­ния (ко­ор­ди­на­ты точек A, B, C и D), а при  — два ре­ше­ния (ко­ор­ди­на­ты точек M и N).

Ответ: 

Чтобы наибольшее значение данной функции было не меньше 1, необходимо и достаточно, чтобы она в какой-то точке приняла значение 1. В самом деле,  Если наибольшее значение ее не меньше единицы, то по непрерывности в какой-то точке будет значение единица. Если же наибольшее значение меньше единицы, то значение единица приниматься не может. Итак, задача свелась к такой — при каких a есть корни у уравнения  Поскольку  это уравнение равносильно совокупности

Эта совокупность имеет решения если  или если  то есть при  или 

Ответ: 

На координатной плоскости хОу множество точек , удовлетворяющих любому из уравнений системы — прямые. А тогда решением системы будут точки пересечения этих прямых. Поэтому исходная система будет иметь бесконечное множество решений в том и только в том случае, когда эти прямые совпадают. Заметим при этом, что вне зависимости от значений параметров первое уравнение системы задаёт не горизонтальную прямую (коэффициент перед  не равен нулю), а второе − не вертикальную (коэффициент перед  не равен нулю), значит, оба уравнения в системе можно привести к виду . В общем случае две прямые, заданные уравнениями  и  совпадают, если,  и  (при  они имеют одну точку пересечения, при  и  точек пересечения у них нет). Следовательно, система будет иметь бесконечно много решений в том случае, когда совместна система

где  и 

Решая систему, получаем  или 

Ответ: , 

Пре­об­ра­зу­ем урав­не­ние:

Рас­смот­рим функ­цию  Она мо­но­тон­но воз­рас­та­ет как сумма двух воз­рас­та­ю­щих функ­ций. По­это­му урав­не­ние  рав­но­силь­но урав­не­нию  Оно имеет более од­но­го корня в тех слу­ча­ях, когда дис­кри­ми­нант урав­не­ния  по­ло­жи­те­лен. То есть когда 

Ответ: 

Полагая ,  перепишем исходную систему в виде

Заметим, что если хотя бы одна из переменных  отрицательна, то исходная система не имеет решений. Значению  соответствует , а значению  соответствует  а каждой паре положительных значений  соответствует по два значения исходных переменных  соответственно, то есть каждому такому решению соответствуют четыре решения исходной системы.

Заметим далее, что если пара  является решением системы, то и пара  — также решение этой системы, то есть исходная система получает восемь решений если  Таким образом, исходная система имеет четыре решения  тогда и только тогда, когда полученная система имеет следующие решения:  или , где  и 

Рассмотрим три случая.

1. Если  то из первого уравнения  из второго уравнения  При найденном значении параметра система принимает вид

Осталось убедиться, что данная система не имеет других решений, кроме  Из первого уравнения  подставим во второе:

Последнее уравнение имеет единственный корень  Это доказывает, что других решений система не имеет.

2. Если  а  то  При этом значении параметра система принимает вид

Проверим, имеет ли данная система решения, отличные от . Из первого уравнения снова  подставим во второе:

Последнее уравнение имеет два корня  и  Первый из них соответствует рассматриваемому случаю и двум решениям исходной системы, а второй оставшемуся случаю  и еще двум.

3. Если  а  то  Как было показано выше, данное значение параметра является искомым.

Ответ: 

Произведём замену переменной  получим:

Пусть теперь

При t ≥ 0 функция g(t) убывает, принимая все значения от  до  При t < 0 функция g(t) − возрастает, принимая все значения от  до  Значит, 

Функция f(t) принимает минимальное значение при  причём на промежутке (0; +∞) — функция возрастает, принимая все значения от  до , а на промежутке (−∞; 0) — убывает (функция чётная), принимая все значения от  до 

Поскольку наибольшее значение функции  и наименьшее значение функции  достигается при одном и том же значении , уравнение будет иметь решение тогда и только тогда, когда  то есть

1) При a ≥ 0 получаем

2) При a < 0 получаем

Ответ: 

Ре­ше­ние си­сте­мы может быть един­ствен­ным в двух слу­ча­ях.

1 слу­чай. Един­ствен­ное ре­ше­ние яв­ля­ет­ся гра­нич­ной точ­кой для мно­же­ства ре­ше­ний каж­до­го из двух не­ра­венств. В этом слу­чае это един­ствен­ное ре­ше­ние долж­но удо­вле­тво­рять си­сте­ме урав­не­ний

Вы­чи­тая из вто­ро­го урав­не­ния пер­вое, по­лу­ча­ем:

Если  то  а зна­чит,  При этом зна­че­нии  си­сте­ма при­ни­ма­ет вид:

Един­ствен­ное ре­ше­ние 

Если  то  и  Си­сте­ма при­ни­ма­ет вид:

При этом зна­че­нии  си­сте­ма имеет бес­ко­неч­но много ре­ше­ний.

Изобразим на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют первому уравнению системы.

Рассмотрим четыре случая:

1) Если  и  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт пару прямых  и  Случаю удовлетворяют отрезки внутри квадрата  с вершиной в начале координат.

2) Если  и  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу  Случаю удовлетворяет только дуга ниже оси Ox.

3) Если  и  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт параболу  Случаю удовлетворяет только дуга левее оси Oy.

4) Если  и  то получаем уравнение

Полученное уравнение задаёт прямую  Случаю удовлетворяют лучи вне квадрата  с вершиной в начале координат.

Точки    являются точками пересечения полученных парабол с полученными прямыми и лежат на прямых  и/или  поэтому искомое множество состоит из прямой l, задаваемой уравнением  отрезка AB прямой  дуги  параболы  с концами в точках B и C и дуги  параболы  с концами в точках A и C (см. рис.)

Рассмотрим второе уравнение системы. Оно задаёт прямую m, параллельную прямую AB или совпадающую с ней.

Заметим, что при a = 0 прямая m касается парабол  и  в точке C.

При a = 1 прямая m содержит отрезок AB, то есть исходная система имеет бесконечное число решений.

При a = 0 прямая m касается дуг  и  в точке C, пересекает прямую l в точке C и не пересекает отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

При  прямая m не пересекает отрезок AB, пересекает прямую l в точке, отличной от точки C, и пересекает каждую из дуг  и  в одной точке, отличной от точки C, то есть исходная система имеет три решения.

При  или  прямая m пересекает прямую l в одной точке и не пересекает дуги  и  и отрезок AB, то есть исходная система имеет одно решение.

Значит, исходная система имеет более двух решений при 

Ответ: 

Заметим, что при любых значениях переменной  и параметра  знаменатель дроби в левой части неравенства положителен, поэтому исходное неравенство равносильно неравенству

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало отрезок  синус должен принимать все значения  (см. рисунок)

Пусть , тогда неравенство принимает вид

Рассмотрим функцию  Для того, чтобы множество решений последнего неравенства содержало отрезок  необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два условия  и 

Ответ: