Математика (проф. ур.) ((C2). Стереометрическая задача)
Все рёбра правильной треугольной пирамиды SBCD с вершиной S равны 9.
Основание O высоты SO этой пирамиды является серединой отрезка SS1, M — середина ребра SB , точка L лежит на ребре CD так, что CL : LD = 7 : 2.
а) Докажите, что сечение пирамиды SBCD плоскостью S1LM — равнобедренная трапеция.
б) Вычислите длину средней линии этой трапеции.
Ответ
/Tablitsy%20s%20formulami/Stereometriya.jpg)
а) Проведём медиану S1M треугольника SS1B, которая пересекает прямую BB1, являющуюся одновременно медианой треугольника SS1B и основания BCD, в точке T. Тогда ВТ : ТВ1 = 4 : 5.
Точка L, в свою очередь, делит отрезок B1D в отношении DL : LВ1 = 4 : 5, так как LD : LC = 2 : 7 и отрезок BB1 — медиана треугольника BCD.
Следовательно, сторона сечения, проходящая через точки L и T, параллельна стороне BD основания BCD. Пусть прямая LT пересекает BC в точке P.
Проведём через точку M среднюю линию в треугольнике SBD, пусть она пересекает сторону SD в точке K. Тогда PMKL — искомое сечение, причём BP = DL и BM = KD. Из равенства треугольников BMP и DKL получим MP = KL, а значит, PMKL — равнобедренная трапеция.
б) Большее основание PL трапеции равно 7, поскольку треугольник LPC правильный. Второе основание MK равно 4,5, поскольку MK — средняя линия правильного треугольника SBD. Следовательно, средняя линия трапеции равна 
/profil/-18/14.svg)
Ответ: 5,75.