Математика (проф. ур.) ((C2). Стереометрическая задача)
Дана правильная четырехугольная призма ABCDA1B1C1D1. На ребре AA1 отмечена точка K так, что AK : KA1 = 1 : 2. Плоскость α проходит через точки B и K параллельно прямой AC. Эта плоскость пересекает ребро DD1 в точке M.
а) Докажите, что MD : MD1 = 2 : 1.
б) Найдите площадь сечения, если AB = 4, AA1 = 6.
Ответ
/Tablitsy%20s%20formulami/Stereometriya.jpg)
а) Проведём в прямоугольнике 
отрезок KL параллельно AC. Заметим, что плоскость KBL параллельна прямой AC по признаку параллельности прямой и плоскости. Поэтому KBL — плоскость сечения. Плоскость сечения пересекает параллельные грани призмы по параллельным отрезкам. Проведём отрезок LM параллельно BK, проведем отрезок KM. Полученный четырёхугольник BLMK — искомое сечение. (См. Правила в конце пояснения.)
Из равенства АК = LC следует, что CL : LC1 = 1 : 2. В силу параллельности прямых KB и ML получаем, что DM = 2LC, а тогда DM : MD1 = 2 : 1. Это и требовалось доказать.
б) Заметим, что по теореме о трех перпендикулярах прямые BM и AC перпендикулярны, а значит, прямые BM и KL перпендикулярны. Площадь четырехугольника, диагонали которого взаимно перпендикулярны, равна половине произведения диагоналей. Найдем их: 
как диагональ квадрата, лежащего в основании призмы, 
по теореме Пифагора. Тогда
Ответ: б) 
.