Прямая  является касательной к графику функции  в точке  тогда и только тогда, когда одновременно  и  В нашем случае имеем:

Искомое значение а равно 0,125.

Ответ: 0,125.

Напомним, что если функция непрерывна на отрезке [a; b], а её производная положительна (отрицательна) на интервале (a; b), то функция возрастает (убывает) на отрезке [a; b].

Тем самым, функция f, график производной которой дан в условии, возрастает на отрезках [−5; −3] и [3; 5] и убывает на отрезке [−3; 3].

Из этого следует, что f принимает наименьшее значение на левой границе отрезка, в точке −5, или в точке минимума х_min = 3. В силу возрастания f на отрезке [3; 5] справедливо неравенство f (5) > f (3). Поскольку по условию f (−5) не меньше, чем f (5), справедлива оценка f (−5) > f (3).

Тем самым, наименьшего значения функция f достигает в точке 3. График одной из функций, удовлетовряющих условию, приведён на рисунке.

Ответ:3.

Производная функции отрицательна на тех интервалах, на которых функция убывает. Если сторону клетки принять за единицу, то функция убывает на интервалах (−4,4; −0,7) и (2,6; +∞). В них содержатся точки x₄, x₅, x₉. Их 3 штуки.

Ответ: 3.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Построим треугольник с вершинами в точках A (1; 2), B (1; −4), C(−2; −4). Угол наклона касательной к оси абсцисс будет равен углу ACB:

Ответ: 2.

Поскольку касательная параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны 0. Угловой коэффициент касательной равен значению производной в точке касания. Производная равна нулю в точках экстремума функции. На заданном интервале функция имеет 2 максимума и 2 минимума, итого 4 экстремума. Таким образом, касательная к графику функции параллельна прямой y = 6 или совпадает с ней в 4 точках.

Ответ: 4.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной, который в свою очередь равен тангенсу угла наклона данной касательной к оси абсцисс. Производная отрицательна в точках −1 и 4. Модуль тангенса угла наклона касательной явно больше в точке 4, поэтому тангенс в этой точке наименьший.

Ответ:4.

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой  или совпадает с ней, она имеет угловой коэффициент равный 2 и  Осталось найти, при каких  производная принимает значение 2. Искомая точка 

Ответ: 5.

Раз­ность зна­че­ний пер­во­об­раз­ной в точ­ках 8 и 2 равна пло­ща­ди вы­де­лен­ной на ри­сун­ке тра­пе­ции  По­это­му

Ответ:7.

Най­дем фор­му­лу, за­да­ю­щую функ­цию  гра­фик ко­то­рой изоб­ражён на ри­сун­ке.

Сле­до­ва­тель­но, гра­фик функ­ции  по­лу­чен сдви­гом гра­фи­ка функ­ции  на  еди­ниц влево вдоль оси абс­цисс. По­это­му ис­ко­мая пло­щадь фи­гу­ры равна пло­ща­ди фи­гу­ры, огра­ни­чен­ной гра­фи­ком функ­ции  и от­рез­ком  оси абс­цисс. Имеем:

Ответ: 4.

Условие касания графика функции  и прямой  задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Ответ: 7.