Введём обозначения, приведённые на рисунке. Здесь  — плечи "журавля" до опускания,  — после,  — высота, на ко­то­рую под­нял­ся конец ко­рот­ко­го плеча,  — высота, на ко­то­рую опу­стил­ся конец длинного. Рас­смот­рим тре­уголь­ни­ки  и  углы  и равны, как вертикальные, сле­до­ва­тель­но равны и углы при основаниях:

Следовательно, тре­уголь­ни­ки  и  по­доб­ны по двум углам, то есть 

Рассмотри пря­мые  и  их пе­ре­се­ка­ет се­ку­щая  углы, обо­зна­чен­ные на ри­сун­ке 1 и 2 на­крест ле­жа­щие и равны друг другу, сле­до­ва­тель­но пря­мые  и  параллельны. Сто­ро­ны углов 3 и 4 па­рал­лель­ны друг другу, сле­до­ва­тель­но они равны.

Рассмотрим тре­уголь­ни­ки  и  они прямоугольные, имеют рав­ные углы, сле­до­ва­тель­но они подобны, значит: