Обозначим центр описанной окружности треугольника ABC через O, а центр вписанной окружности через I.

Тогда

Таким образом, точки A, C, O и I лежат на одной окружности.

Поскольку ABCD выпуклый и ∠ABD = ∠ACD, получаем, что около четырёхугольника ABCD можно описать окружность. А тогда ∠DAC = ∠DBC как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу CD.

Поскольку треугольник   — равнобедренный, получаем, что его медиана    также является высотой. Значит, в треугольнике    отрезок    является высотой и медианой. Поэтому треугольник   — равнобедренный, то есть  .

Продолжим BK до пересечения с прямой AD в точке F. Заметим, что в треугольниках FDK и BCK стороны CK и DK равны по условию, углы при вершине K равны как вертикальные, а углы KDF и KCB равны как накрест лежащие. Значит, треугольники FDK и BCK равны.

Следовательно, их площади равны, то есть площадь трапеции равна площади треугольника ABF. Но из равенства треугольников также вытекает, что FK = BK, то есть AK — медиана в треугольнике ABF. Тогда треугольник KAB по площади составит половину треугольника FAB, а значит, и данной трапеции.

Углы CBD и BDA равны, как на­крест ле­жа­щие при па­рал­лель­ных пря­мых. В тре­уголь­ни­ках  и   сле­до­ва­тель­но, эти тре­уголь­ни­ки по­доб­ны по двум парам про­пор­ци­о­наль­ных сто­рон и углу между ними.

Проведём FK параллельно AD (см. рис.). Имеем AD = AK = KB, следовательно, параллелограмм AKFD является ромбом. Диагональ DK ромба AKFD является биссектрисой угла ADC.

Вычислим угол восьмиугольника по формуле  Таким образом, угол восьмиугольника равен  Если вершины последовательно соединить отрезками через одну, то образуются четыре равных равнобедренных треугольника, углы при основании которых равны  Тогда угол между двумя отрезками, которые соединяют вершины равен  Поскольку все четыре равнобедренных треугольника равны, то и стороны получившегося четырёхугольника равны. Таким образом, если вершины восьмиугольника последовательно соединить отрезками через одну, то получится квадрат.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Проведём медиану  и высоту  Площадь треугольника  , площадь треугольника   Отрезки  и  равны, следовательно, 

Воспользуемся теоремой: если отрезок АВ виден из точек С и D, лежащих по одну сторону от прямой АВ, под одним и тем же углом, то точки А, В, С, D лежат на одной окружности (см. рис.). А тогда ∠ABD = ∠ACD как вписанные углы, опирающиеся на одну дугу AD. Что и требовалось доказать.

Приведём другое решение.

Проведём построения и введём обозначения, как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники  и  углы  и  равны по условию, углы  и  равны как вертикальные, следовательно, треугольники  и  подобны. Откуда  Равенство  можно представить в виде  Рассмотрим треугольники  и  углы  и  равны как вертикальные и имеется равенство  следовательно, треугольники подобны. Поэтому углы  и  равны.

Рассмотрим маленькие треугольники  и  ,  следовательно, эти треугольники равны по двум сторонам и углу. Аналогично равны между собой и остальные маленькие треугольники. Следовательно, 

Любой угол правильного восьмиугольника равен  Треугольники  и  — равнобедренные, углы при основаниях равны  Рассмотрим развёрнутый угол 

Аналогично все остальные углы восьмиугольника  равны  следовательно, восьмиугольник  — правильный.