Пусть в трапеции ABCD с основаниями BC = 16 и AD = 34. Обозначим середину диагонали AC через N, середину диагонали BD через M, а середину стороны CD через K.

Тогда NK — средняя линия треугольника ACD, MK — средняя линия треугольника BCD. Длина средней линии треугольника равна половине стороны, параллельной ей, то есть MK = BC/2 = 8, NK = AD/2 = 17. Значит, точки N, M и K лежат на одной прямой, и NM = NK − MK = 9.

Имеем:   = 2 · 25° = 50°;   = 180° − 50° = 130°;   = 130° : 2 = 65°.

Ответ: 65°.

Пусть A₁, B₁ и C₁ — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, AC и AB соответственно. Радиус вписанной окружности обозначим r. Тогда AC₁ = AB₁, BC₁ = BA₁ и CA₁ = CB₁ = r. Периметр треугольника ABC равен

а его полупериметр p равен AB + r.

По формуле площади треугольника находим 

Угол  — вписанный, он равен 90° и опирается на дугу  следовательно, дуга  равна 180°, значит, хорда  — диаметр окружности и 

Введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть К — точка пересечения биссектрис, КН — высота треугольника АКВ, MN — высота параллелограмма, проходящая через точку К.

Рассмотрим треугольники AHK и AKN. Они прямоугольные, углы HAK и KAN равны, потскольку АК — биссектриса, сторона AK — общая, следовательно, треугольники равны. Тогда  Аналогично, равны треугольники BKH и BKM, откуда 

Найдём площадь параллелограмма как произведение основания на высоту:

Рассмотрим треугольники ABC и BMN: углы BMN и BAC равны как соответственные при параллельных прямых, угол B — общий, следовательно, эти треугольники подобны, откуда  Найдём BN:

Ответ: 7.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Проведём высоты  и  В трапеции сумма смежных углов при боковой стороне равна 180°, поэтому  Из прямоугольного треугольника  найдём сторону 

Углы  и  равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Высоты  и  равны. Из прямоугольного треугольника  найдём 

Ответ: 

Так как высота AD, проведенная к медиане BM делит ее пополам, то треугольник ABM является равнобедренным, поэтому AB=AM=4. Так как BM- медиана, то AM=MC, таким образом, AC=2AM=8.

Ответ: 8.

По определению параллелограмма   — секущая при параллельных прямых, следовательно, углы  и  равны как накрест лежащие. Поскольку  треугольник  — равнобедренный, откуда  Аналогично, треугольник  — равнобедренный и  Стороны  и  равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно,  Таким образом, 

Ответ: 68.

Поскольку ABCD — ромб, AD = DC = DH + HC = 13.

Треугольник ADH прямоугольный, поэтому: 

Ответ: 5.