Раскрывая модуль, получим, что функцию можно представить следующим образом:

- ровно две общие точки при  и ;

- три общие точки при 

- ровно одну общую точку при  и .

Ответ: m<−6,25; m>12,25.

Координата  вершины параболы определяется по формуле  Координата  вершины находится подстановкой  в уравнение параболы. Вершины парабол будут находится по одну сторону от оси , если координаты их вершин имеют одинаковые знаки. Вспомнив, что два сомножителя имеют одинаковый знак тогда и только тогда, когда их произведение положительно, составим и решим неравенство:

Заметим, что второй множитель всегда больше нуля, поэтому на него можно разделить.

Произведение двух сомножителей будет меньше нуля, если сомножители имеют разный знак (см. рисунок). Таким образом, получаем ответ:

Абсцисса вершины параболы определяется по формуле  Для данных парабол это точки p и 2p.

Ордината  вершины находится подстановкой  в уравнение параболы. Для данных парабол получаем:  и 

Вершины парабол находятся по разные стороны от оси абцсисс, если ординаты их вершин имеют разные знаки.

Два множителя имеют разные знаки тогда и только тогда, когда их произведение отрицательно. Тем самым, требуется решить неравенство  Заметим, что первый множитель меньше нуля при всех значениях p, поэтому на него можно разделить, изменив знак неравенства на противоположный. Имеем:

Произведение двух сомножителей больше нуля, если они имеют один и тот же знак (см. рис.). Таким образом, получаем ответ:

Раскроем модуль:

Выделим полные квадраты:

Следовательно, график функции  получается из графика функции  сдвигом на  и отражением через ось Ox; а график функции  − сдвигом на 

Этот график изображён на рисунке:

Из графика видно, что прямая  имеет с графиком функции ровно две общие точки при  и 

Найдём абсциссы точек пересечения:

Графики функций, будут иметь ровно одну точку пересечения, если это уравнение имеет ровно одно решение. То есть, если дискриминант этого квадратного уравнения будет равен нулю.

По условию  поэтому нам подходит значение 

Подставив параметр  в уравнение, найдём  координату точки пересечения этих функций:

Координата  находится путём подстановки координаты  в любое из уравнений, например, в первое:

Теперь, зная  можем построить графики обеих функций.

Выделим полный квадрат:

Следовательно, график функции  получается из графика функции  сдвигом на .

График функции  — прямая — строится по точкам.

График данной функции — это график параболы  отрицательная часть которого отражена относительно оси  Этот график изображён на рисунке:

Прямая, параллельная оси абсцисс задаётся формулой  где  — постоянная. Из графика видно, что прямая  может иметь с графиком функции не более четырёх общих точек.

Ответ: 4.

Выделим полный квадрат:

Следовательно, график функции  получается из графика функции  сдвигом на (2; −4). Построим на 

График функции  получается из графика функции  растяжением в 5 раз и отражением через ось Ox. Построим на .

Из графика видно, что прямая  будет иметь с графиком ровно три точки пересечения при  принадлежащем множеству: 

Ответ: (0; 5).

Преобразуем выражение:

По теореме, обратной теореме Виета, корни уравнений  равны соответственно: -3 и -4; -1 и 2; -1 и -4. Тогда по формуле  получаем:

Имеем:

График исходной функции сводится к графику параболы  с выколотыми точками 

Построим график функции:

Выделим полный квадрат:

Следовательно, график функции  получается из графика функции  сдвигом на .

Из графика видно, что прямая  имеет с графиком функции ровно одну общую точку при  равном 

Ответ: −6,25; −6; 6.

Выделим полный квадрат:

Следовательно, график функции  получается из графика функции  сдвигом на (−2; 0). График функции  получается из графика функции  растяжением в 16 раз и отражением через ось Ox.

Изобразим график на рисунке:

Из графика видно, что прямая  имеет с графиком функции одну или две общие точки при любом  принадлежащем множеству 

Ответ: 

Упростим выражение:

По теореме, обратной теореме Виета, корни уравнения  равны -1 и -2 соответственно, тогда по формуле , получаем:. Имеем:

График функции сводится к графику параболы  с выколотой точкой 

Выделим полный квадрат:

Следовательно, график функции получается из графика функции  сдвигом на . (см. рис.)

Из графика видно, что прямая  имеет с графиком функции ровно одну общую точку при  и 

Ответ: −1; 3.