Математика (проф. ур.) ((C7). Числа и их свойства)
На доске было написано 20 натуральных чисел (не обязательно различных), каждое из которых не превосходит 40. Вместо некоторых из чисел (возможно, одного) на доске написали числа, меньшие первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 0, с доски стёрли.
а) Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел на доске увеличилось?
б) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 34?
в) Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 27. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.
Ответ
а) Например, если были написаны по 10 раз числа 11 и 1 и со всеми провели эти действия, то их среднее было равно 6, а после описанных действий оно станет равно 10.
б) Пусть x количество изначально написанных единиц, которые превратятся в нули, а y — количество прочих уменьшаемых чисел. Тогда сумма всех чисел равна 
, а сумма всех чисел, кроме будущих нулей, равна 
, и их 
штук.
После описанных действий будет чисел с общей суммой 
Значит,
Отсюда следует, что 
Но тогда 
, что невозможно.
в) Обозначая как в пункте б) получаем, что нужно максимизировать значение выражения 
Очевидно, следует взять 
и максимизировать 
, то есть следует максимизировать x.
Заметим однако, что сумма изначальных чисел не превосходит 
, откуда 
, 
, 
Тогда требуемое выражение будет равно 
Это возможно, например, для набора из шести единиц, числа 14 и тринадцати чисел по 40, из которых уменьшают все единицы и только их, получая 