a) Расстояние от центра окружности до хорд одинаковой длины равны. Следовательно, точка Oравноудалена от прямых AB, BC, CD и AD. Значит, она лежит на биссектрисе каждого из углов трапеции.

б) Опустим из точки O перпендикуляры OU, OV и OW на стороны AD, AB и BCсоответственно. Тогда  UW — высота трапеции, а точка V — середина отрезка KL. Значит,

Пусть BH — высота трапеции. В прямоугольном треугольнике ABH имеем:

а) Площадь треугольника А₁МВ₂ в два раза меньше площади треугольника А₁МВ, поскольку MB = 2MB₂, а высота, проведённая из вершины А₁ у этих треугольников общая: S_A1MB = 2SA₁MB₁.

Аналогично получаем еще 5 равенств:

Складывая эти равенства почленно, получаем 

б) Обозначим длины сторон ВС, АС, АВ треугольника ABC через а, b, с.

Докажем, что квадрат медианы AA₁ равен 

Для доказательства на продолжении отрезка AA₁ за точку А₁ отложим отрезок А₁Р = AA₁. Получим параллелограмм АСРВ со сторонами АС = РВ = b и АВ = CP = си диагоналями ВС& а и АР = 2AA₁. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

Аналогично доказывается, что  a Отрезок C₁A₂ — средняя линия треугольника АВМ, значит,

Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника ABC:  Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна

Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна 

Заметим, что отрезок AC виден из точек K и M под углом 90°, поэтому точки М, К, Си А лежат на одной окружности, диаметром которой является отрезок АС. Аналогично, точки M, K, H, E лежат на окружности, диаметром которой является MK.

Пусть  Тогда , так как они опираются на одну дугу KC в окружности, описанной вокруг четырёхугольника AMKC. Кроме того,  так как они опираются на одну дугу KH в окружности, описанной вокруг четырёхугольника MKHE. Так как  прямые EH и АС параллельны, поскольку это соответственные углы при пересечении EH и ACсекущей OA. Это и требовалось доказать.

б) Используем подобие треугольников:

,  кроме того,  поэтому  тогда EH = 

Тем самым искомое отношение длин сторон равно 3:4.

а) Площадь треугольника A₁MB₂ в два раза меньше площади треугольника A₁MB, поскольку MB = 2MB₂, а высота, проведённая из вершины A₁, у этих треугольников общая:

Аналогично получаем ещё 5 равенств:

Складывая эти равенства почленно, получаем

б) Обозначим длины сторон BC, AC, AB треугольника ABC через a, b, c.

Докажем, что квадрат медианы AA₁ равен  Для доказательства на продолжении отрезка AA₁ за точку A₁ отложим отрезок A₁P = AA₁. Получим параллелограмм ACPB со сторонами AC = PB = b и AB = CP = c и диагоналями BC = a и AP = 2AA₁. Сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов его сторон:

 откуда  Аналогично доказывается, что  а 

Отрезок C₁A₂ — средняя линия треугольника ABM, значит,

Рассуждая аналогично, мы получим, что стороны шестиугольника втрое меньше медиан треугольника 

Следовательно, сумма квадратов сторон шестиугольника равна

Подставляя в эту формулу длины сторон треугольника ABC, получаем ответ: сумма квадратов сторон шестиугольника равна 

а) Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе угла, поэтому AO и BO — биссектрисы углов BAD и ABC. Сумма этих углов равна , поэтому сумма углов BAO и ABOравна 

Аналогично,  Тогда 

Следовательно, 

б) Окружность радиуса R, вписанная в прямоугольную трапецию ABCD, касается ее сторон AB, BC, CD и AD в точках  соответственно. Тогда AKON и BKOL — квадраты, поэтому   Значит,

Отрезок  — высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, поэтому  то есть  Откуда находим, что  Следовательно, площадь трапеции равна:

а) Четырехугольник CDPQ вписан в окружность и его стороны PD и CQ параллельны, следовательно, CDPQ ― либо прямоугольник, либо равнобедренная трапеция, откуда PQ = CD, но CD = AB, значит, и четырехугольник ABQP ― также прямоугольник или равнобедренная трапеция и, следовательно, около него можно описать окружность, что и требовалось доказать.

б) Поскольку AK ― касательная к данной окружности, а AD ― секущая, имеем: Аналогично находим  откуда  и тогда 

Пусть QH ― высота равнобедренной трапеции CDPQ. Тогда:

Таким образом, 

a) Расстояние от центра окружности до хорд одинаковой длины равны. Следовательно, точка Oравноудалена от прямых AB, BC, CD и AD. Значит, она лежит на биссектрисе каждого из углов трапеции.

б) Опустим из точки O перпендикуляры OU, OV и OW на стороны AD, AB и BC соответственно. Тогда  UW — высота трапеции, а точка V — середина отрезка KL. Значит,

Пусть BH — высота трапеции. В прямоугольном треугольнике ABH имеем:

а) Заметим, что  так как линия центров  содержит биссектрисы равнобедренных треугольников  и 

Тогда  и  Значит,  по двум углам.

б) Из равенства углов  следует параллельность прямых: Поэтому, учитывая, что  получаем:  Значит,  а AE — диаметр окружности.

Равнобедренные треугольники  и  подобны, поскольку

Значит,  откуда 

а) Пусть E — середина KC. MC = MA, KC = AE, , значит, 

Тогда ME — медиана прямоугольного треугольника CMK, проведенная из вершины прямого угла. Значит,  Следовательно, 

б) Из прямоугольных треугольников ABC и KBC находим, что

 

Через вершину A проведем прямую, параллельную BC. Пусть T — точка пересечения этой прямой с прямой MK, а D — точка пересечения прямой BK с прямой AT.

Из равенства треугольников AMT и BMP получаем, что  а из подобия треугольников CKP и AKT следует, что  Значит, B — середина CP.

Треугольник AKD подобен треугольнику CKB с коэффициентом поэтому  а так как , AD — средняя линия треугольника BQP. Значит, 

Следовательно,