Вопрос №21

21. Натуральное число называется палиндромом, если при расстановке его цифр в обратном порядке оно не изменяется (например, 8, 22, 171 и т.п.).

а) Сколько существует пятизначных палиндромов?

б) Существует ли 2015-значное число, квадрат которого является палиндромом?

в) Сколько существует палиндромов, квадраты которых не превышают 100000 и так же являются палиндромами?

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. Натуральное число называется палиндромом, если при расстановке его цифр в обратном порядке оно не изменяется (например, 8, 22, 171 и т.п.).

а) Сколько существует шестизначных палиндромов, каждая цифра в которых встречается не больше двух раз?

б) Существует ли пара натуральных чисел (a;b), таких, что никакая натуральная степень числа а не является палиндромом, а любая степень числа b является?

в) Сколько существует упорядоченных пар (х; у), где х, у — двузначные палиндромы, х у, х + у — палиндром, причём нечётный?

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. Бесконечную последовательность b₁, b₂,b₃ ... назовём особенной, если все её члены — натуральные числа, причём для всех n b₁ + b₂ +... b_n-1 < Ь_n.

а) Существует ли особенная последовательность, у которой все члены меньше 2015?

б) Существуют ли такая особенная последовательность {b_n} и такая геометрическая прогрессия {c_n}, что b_n - a_n < 2015 для всех n?

в) Существуют ли такая особенная последовательность {b_n} и такая арифметическая прогрессия {a_n}, что Ь_n - a_n <2015 для всех n? 

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. Бесконечную последовательность b₁, b₂, b₃ … назовем особенной, если все ее члены - натуральные числа, причем для всех n: b n ˃ b₁ + b₂ + b₃ … b n ₊ ₁

а) может ли арифметическая прогрессия быть особенной последовательностью?

б) может ли сумма цифр каждого члена особенной последовательности быть меньше 5

в) может ли для всех n выполняться неравенство 

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. 

а) Можно ли число 2015 представить в виде суммы двух различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли число 100 представить в виде суммы двух различных натураль-ных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы четырёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. 

а) Можно ли число 2015 представить в виде суммы трёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

б) Можно ли число 288 представить в виде суммы трёх различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр?

в) Найдите наименьшее натуральное число, которое можно представить в виде суммы шести различных натуральных чисел с одинаковой суммой цифр.

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. На n деревьях, расположенных по окружности, сидели n весёлых чижей (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один по часовой стрелке, другой — против). Могут ли все n чижей собраться на одном дереве, если

а) n = 3?

б) n= 2015?

в) n = 10?

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. На n деревьях, расположенных по окружности, сидели n весёлых чижей (на каждом дереве по чижу). Время от времени два чижа одновременно перелетают на соседние деревья в противоположных направлениях (один по часовой стрелке, другой — против). Могут ли все n чижей собраться на одном дереве, если

а) n = 5?

б) n= 2019?

в) n = 12?

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. Натуральные числа от 1 до п в порядке возрастания записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Можно ли добиться того, чтобы сумма каждого числа и записанного под ним была бы точным квадратом:

а) при n = 7;

б) при n = 12;

в) при n = 2015?

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. Натуральные числа от 1 до n в порядке возрастания записаны в строчку. Под ними записаны те же числа в другом порядке. Можно ли добиться того, чтобы сумма каждого числа и записанного под ним была бы точным квадратом:

а) при n = 6;

б) при n = 13;

в) при n = 2014?

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. 

а) Могут ли 4 последовательных члена непостоянной арифметической прогрессии быть простыми числами?

б) Дана непостоянная арифметическая прогрессия с разностью, не кратной 3. Какое наибольшее количество подряд идущих её членов могут быть простыми числами?

в) Известно, что 6 последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии являются простыми числами. Найдите наименьшее значение, которое может принимать разность такой прогрессии.

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. 

а) Могут ли 5 последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии быть простыми числами?

б) Дана непостоянная арифметическая прогрессия с разностью, не кратной 5. Какое наибольшее количество подряд идущих её членов могут быть простыми числами?

в) Известно, что 6 последовательных членов непостоянной арифметической прогрессии являются простыми, числами, большими 7. Найдите наименьшее значение, которое может принимать разность такой прогрессии.

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. На доске выписана последовательность a₁, a₂,...., a₁₀₁₀ при этом a₁ = 3.

В каждом из следующих случаев определите а₁₀₀₀

а) Для любого натурального k среднее арифметическое первых k членов последовательности равно 3.

б) Для любого натурального k 2 среднее арифметическое первых к членов последовательности на 1 больше среднего арифметического первых (k — 1) членов последовательности.

в) Для всех нечётных натуральных к среднее арифметические первых к членов последовательности равны между собой и на 1 меньше средних арифметических первых 2 m членов последовательность для любого натурального m.

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. На доске выписана последовательность а₁, а₂,..., а₅₀₀, при этом а₁ = 7.

В каждом из следующих случаев определите а₅₀₀-

а) Для любого натурального а среднее геометрическое первых m членов последовательности равно 7.

б) Для любого натурального m среднее арифметическое первых m членов последовательности на 3 меньше среднего арифметического первых (m-1) членов последовательности.

в) Для всех нечётных натуральных m средние арифметические первых m членов последовательности равны между собой и на 3 меньше средних арифметических первых 2k членов последовательность для любого натурального k.

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. Ежедневно в зоопарке каждой лисе полагается 2 кг мяса, тигру — 14 кг, льву — 21 кг. Известно, что у каждого льва бывает ежедневно 230 посетителей, у каждой лисы — 20, у каждого тигра — 160 и все эти звери есть в зоопарке.

а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в зоопарке распределяют 70 кг мяса?

б) Может ли ежедневно распределяться 420 кг мяса, если известно, что посещений за 1 день было меньше 4000?

в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений у этих зверей, если зоопарк ежедневно распределяет между ними 111 кг мяса?

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. В океанариуме каждой акуле дают по 2,5 кг рыбы, мурене — 0,2 кг, скату — 1,5 кг ежедневно. Известно, что в среднем у каждой акулы бывает ежедневно 260 посетителей, у каждой мурены — 21, у каждого ската — 150. Все эти животные есть в океанариуме.

а) Какое число посещений будет у этих животных, если ежедневно в океанариуме им дают 6,5 кг рыбы?

б) Может ли ежедневно распределяться 18,4 кг рыбы, если известно, что за 1 день у этих животных было больше 2000 посещений?

в) Каким может быть наибольшее ежедневное число посещений, если океанариум ежедневно распределяет между ними 7 кг рыбы?

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

 21. Решите в целых числах уравнение 6х² + 5у² = 74.

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

 21. Решите в целых числах уравнение 19х² + 28у² = 729.

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

 Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, ели ответ неверный, то введите знак "-".

Вопрос №21

21. Обозначим а(n) сумму цифр натурального числа n.

а) Существует ли такое двузначное число n, для которого выполняется условие а(n) = а(2n)?

б) Существует ли такое двузначное число n, все цифры которого чётны, для которого выполняется условие а(n) = а(2n)?

в) Найдите количество трёхзначных чисел n, все цифры которых нечётны, для которых выполняется условие а(n) = а(2n).

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос№21

21. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены возрастающей последовательности натуральных чисел ап. В результате получилось рациональное число, которое выражается несократимой дробью, знаменатель которой меньше 100. Найдите наименьшее возможное значение а₃.

Вопрос№121

21. а) Приведите пример числа-палиндрома, который делится на 55.
б) Сколько существует пятизначных чисел-палиндромов, делящихся на 55?
в) Найдите 13-е по величине число-палиндром, которое делится на 55.

Вопрос№21

21. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены арифметической прогрессии   (d — целое). Из полученной записи удалены минусы, если они есть. В результате получается рациональное число. Найдите это число.

Ответ на задание находится во вкладке "пяснение",  после выполнения задания сверьте ответ. Если ответ совпадает поставьте знак "+" в поле ответа, если ответ неверен, то поставьте знак "-".

Вопрос №21

21. 

а) Приведите пример трёхзначного числа, у которого ровно 5 натуральных делителей.
б) Существует ли такое трёхзначное число, у которого ровно 15 натуральных делителей?
в) Сколько существует таких трёхзначных чисел, у которых ровно 20 натуральных делителей?

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. Бесконечная десятичная дробь устроена следующим образом. Перед десятичной запятой стоит нуль. После запятой подряд выписаны члены последовательности   (d — целое). В результате получается рациональное число. Найдите это число.

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что  кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более  от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более   от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 8 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 16 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б? 

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более   от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более  от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 12 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 24 учащихся?
в)Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а и б? 

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. Каждый из группы учащихся сходил в кино или в театр, при этом возможно, что кто-то из них мог сходить и в кино, и в театр. Известно, что в театре мальчиков было не более    от общего числа учащихся группы, посетивших театр, а в кино мальчиков было не более   от общего числа учащихся группы, посетивших кино.

а) Могло ли быть в группе 13 мальчиков, если дополнительно известно, что всего в группе было 26 учащихся?
б) Какое наибольшее количество мальчиков могло быть в группе, если дополнительно известно, что всего в группе было 26 учащихся?
в) Какую наименьшую долю могли составлять девочки от общего числа учащихся в группе без дополнительного условия пунктов а  и б?

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-". 

Вопрос №21

21. Обозначим а(n) сумму цифр натурального числа n.

а) Существует ли такое двузначное число n, для которого выполняется условие а(n) = а(3n)?

б) Существует ли такое двузначное число n, все цифры которого нечётны, для которого выполняется условие а(n) = а(3n)?

в) Найдите количество трёхзначных чисел n, все цифры которых чётны, для которых выполняется условие а(n) = а(3n)?

Сравните полученный вами ответ с ответом, указанным во вкладке "пояснение". Если ответ правильный, то введите знак "+" в поле ответа, если ответ неверный, то введите знак "-".